[論文レビュー] Motion of a Rigid Body in Body-Fixed Coordinate System -- for Autoparrallel Trajectories in Spaces with Torsion

Plamen Fiziev, H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 1995

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、曲率とねじれを有する空間において、剛体の運動を体固定座標系で記述するための新しい作用原理を用いて、剛体のオイラー方程式を導出する。粒子の軌道が、通常の曲がった空間では最短路（測地線）であるとされるが、本稿では、このような幾何構造においては、直線的（直線に最も近い）経路である自己平行路（autoparallel）に従うことが示され、従来の「曲がった空間では最短路に従う」という常識的信念に挑戦する。

ABSTRACT

We use a recently developed action principle in spaces with curvature and torsion to derive the Euler equations of motion for a rigid body within the body-fixed coordinate system. This serves as an example that the particle trajectories in a space with curvature and torsion follow the straightest paths (autoparallels), not the shortest paths (geodesics), as commonly believed.

研究の動機と目的

• 曲率とねじれを有する空間において、体固定座標系における剛体の運動方程式を定式化すること。
• このような空間における粒子軌道の性質を調査すること、特に測地線か自己平行路かのどちらに従うかを明らかにすること。
• ねじれが存在する場合に、曲がった空間における粒子運動が最短路（測地線）に従うという広く一般的に信じられている仮定に反して、本稿ではそのような振るまいが変わることを示し、それを挑戦すること。
• 剛体運動という具体的な物理的例を通じて、自己平行路と測地線の違いが物理的に意味を持つことの明確な例を提示すること。
• 非リーマン幾何（ねじれを含む）に適用可能な一貫性のある作用原理フレームワークを確立すること。

提案手法

• 曲率とねじれを有する空間に特化した最近開発された作用原理を用い、標準的な変分法を拡張する。
• 体固定座標系における剛体に作用原理を適用し、対応する運動方程式（オイラー方程式）を導出する。
• 運動が自己平行路に従うという条件を課す。自己平行路とは、速度ベクトルの共変微分がゼロとなる経路である。
• 非対称なアフィン接続を用いて幾何を記述し、曲率テンソルとねじれテンソルの両方を組み込む。
• 体固定座標系における角速度および姿勢変数に関して作用を変分することで、運動方程式を導出する。
• 非計量性と非対称接続が剛体力学に与える影響を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれを有する空間において、剛体の運動方程式はリーマン空間とどのように異なるか？
• RQ2 ねじれを有する空間における粒子軌道は、測地線か自己平行路か？
• RQ3 非リーマン幾何における剛体運動に対して一貫性のある作用原理を定式化できるか？
• RQ4 ねじれは、体固定座標系における剛体の慣性的力学にどのように寄与するか？
• RQ5 ねじれの存在が、剛体運動の可積分性および対称性の性質にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 体固定座標系における剛体の導出されたオイラー方程式は、ねじれを有する空間における自己平行路に一致する。
• ねじれを有する空間における軌道は測地線ではなく、非対称接続によって定義される「直線的（直線に最も近い）経路」である。
• 本稿は、曲がった空間では運動が最短路に従うという一般的な信念に対して反例を提供し、ねじれがその振るまいを変えることを示している。
• 使用した作用原理は、曲率とねじれの両方を効果的に組み込み、物理的に意味のある運動方程式を導出できた。
• 非リーマン幾何において、「直線的経路」（自己平行路）と「最短経路」（測地線）の概念は根本的に異なることが示された。
• 本フレームワークにより、ねじれが非ゼロである空間における剛体の動的記述が一貫して可能となり、古典力学が一般化された幾何に拡張された。