[論文レビュー] Motives and representability of algebraic cycles on threefolds over a field

Sergey Gorchinskiy, Vladimir Guletskiĭ|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、代数閉体上の滑らかで射影的3次元多様体における代数的サイクルの表現可能性のモチビック基準を確立し、零サイクルが表現可能であるときかつそのときに限り、モチーフがLefschetzモチーフとアーベルモチーフに分解されることを示している。Fano 3次元多様体および $H^2$ が代数的であるような曲面に fibre された3次元多様体（Enriques および Del Pezzo 曲面を含む）に対して、半安定還元下での退化ファイバー上での零サイクルの表現可能性を用いて、モチーフの有限次元性を証明している。

ABSTRACT

We study links between algebraic cycles on threefolds and finite-dimensionality of their motives with coefficients in Q. We decompose the motive of a non-singular projective threefold X with representable algebraic part of CH_0(X) into Lefschetz motives and the Picard motive of a certain abelian variety, isogenous to the corresponding intermediate Jacobian J^2(X) when the ground field is C. In particular, it implies motivic finite-dimensionality of Fano threefolds over a field. We also prove representability of zero-cycles on several classes of threefolds fibered by surfaces with algebraic H^2. This gives another new examples of three-dimensional varieties whose motives are finite-dimensional.

研究の動機と目的

• 代数閉体上の中間的滑らかで射影的3次元多様体における代数的サイクルの表現可能性のモチビック基準を確立すること。
• Fano 3次元多様体および $H^2$ が代数的な曲面に fibre された3次元多様体のモチーフの有限次元性を証明すること。
• 既知の零サイクルの表現可能性に関する結果を、特に Enriques およびハイパーオービック曲面に fibre された3次元多様体の新しいクラスに拡張すること。
• サイクルの表現可能性と Lefschetz およびアーベル成分へのモチーフの分解を結びつけるモチビックフレームワークを提供すること。
• 具体的な3次元多様体の例を通じて、$K3$-曲面のモチビック有限次元性に及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• 有理係数を用いた基底スキーム上の相対チャウモチーフを用いて、3次元多様体上の代数的サイクルを研究すること。
• モチーブ的バージョンの Manin の補題を、モチーフ圏内の対応およびプロジェクターを分析するために適用すること。
• 特にファイブレーションの文脈において、代数的サイクルの弱的表現可能性のためのモチビックフレームワークを構築すること。
• 半安定還元下で、3次元多様体上の零サイクルの表現可能性を、特異化された退化ファイバー上の表現可能性に還元すること。
• 既知の Enriques および Del Pezzo 曲面のモチーフの有限次元性およびその退化に関する結果を活用すること。
• Kulikov の半安定還元における Enriques 曲面の分類を用いて、成分およびそれらのチャウ群を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数閉体上の中間的滑らかで射影的3次元多様体 $X$ のモチーフが、チャウ・キューニンゲン分解をもつ有限次元的である条件は何か？
• RQ2 3次元多様体 $X$ 上の代数的ゼロサイクル群 $A^3(X)$ が表現可能である条件は何か？
• RQ3 ファイブレーション $X \to C$ のファイバー上での零サイクルの表現可能性が、全空間 $X$ 上での表現可能性にどのように影響するか？
• RQ4 一般ファイバーおよび退化ファイバーにどのような条件を課えると、曲線上にファイブレーションされた3次元多様体のモチーフの有限次元性が保証されるか？
• RQ5 一般型の曲面または $p_g = 0$ をもつルールド曲面にファイブレーションされた3次元多様体に対し、モチビック有限次元性を確立できるか？

主な発見

• 滑らかで射影的な3次元多様体 $X$ のモチーフが、Lefschetz モチーフとアーベルモチーフに分解されるのは、$X$ 上の零サイクルが表現可能であるときかつそのときに限り成り立つ。
• 任意の代数閉体上での Fano 3次元多様体は、零サイクルが表現可能であるため、有限次元的モチーフをもつ。
• 曲線上にファイブレーションされた Enriques または Del Pezzo 曲面をもつ3次元多様体は、特異化された退化ファイバー上での零サイクルの表現可能性が成り立つ限り、有限次元的モチーフをもつ。
• 曲面の $p_g = 0$ および $q = 1$ をもつ3次元多様体は、相対アーベル多様体の $p_g = 0$ が成り立つ場合、モチーブの有限次元性が保証され、これによりアーベル多様体上での $A^2$ の表現可能性が保証される。
• ハイパーオービック曲面にファイブレーションされた3次元多様体のモチーブは、相対アーベル多様体の特異化された射影的閉包の $p_g = 0$ が成り立つ場合、有限次元的である。これは、その多様体上での $A^2$ の表現可能性を示唆する。
• これらの結果により、モチーブの有限次元性が既知である新しいクラスの3次元多様体が得られ、$K3$-曲面のモチビック有限次元性を研究するための潜在的ツールが提供される。