[論文レビュー] Motives with modulus

Bruno Kahn, Shuji Saito+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Voevodskyの$\mathbf{DM}\mathrm{gm}\mathrm{eff}$を非ホモトピー的不変現象を捉えるために拡張する、モジュラスを伴うモチーフの三角カテゴリ$\mathbf{MDM}\mathrm{gm}\mathrm{eff}$を導入する。このカテゴリは、滑らかでない補集合を持つ、ある種の特異点と境界挙動を含む、固有の多様体とその除数の組（モジュラス対）から構成されるモチーフに基づく。主な結果として、特定の状況下で、これらのモチーフ間の準同型はBlochの高次チャウ群に対応することが示される。

ABSTRACT

We construct and study a triangulated category of motives with modulus $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ over a field $k$ that extends Voevodsky's category $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ in such a way as to encompass non-homotopy invariant phenomena. In a similar way as $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ is constructed out of smooth $k$-varieties, $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ is constructed out of \emph{proper modulus pairs}, that is, pairs of a proper $k$-variety $X$ and an effective divisor $D$ on $X$ such that $X \setminus |D|$ is smooth. To a modulus pair $(X, D)$ we associate its motive $M(X, D) \in \mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$. In some cases the Hom group in $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ between the motives of two modulus pairs can be described in terms of Bloch's higher Chow groups.

研究の動機と目的

• Voevodskyの有効モチーフの三角カテゴリ$\mathbf{DM}\mathrm{gm}\mathrm{eff}$を、非ホモトピー的不変現象を含むように拡張すること。
• $(X,D)$ が、$X$ が$k$-多様体で、$X \setminus |D|$ が滑らかであるような、固有モジュラス対であるとき、そのような対に基づく新しいカテゴリ$\mathbf{MDM}\mathrm{gm}\mathrm{eff}$を構成すること。
• $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 内に、各モジュラス対$(X,D)$ に対してモチーフ$M(X,D)$ を関連付けること。
• 特定の状況下で、$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 内の準同型群とBlochの高次チャウ群との間の関係を確立すること。

提案手法

• Voevodskyによる$\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ の構成に類似した枠組みを用いて、三角カテゴリとして$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ を構成する。
• $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ の対象を、$X$ が固有で、$X \setminus |D|$ が滑らかであるような、固有モジュラス対$(X,D)$ に関連するモチーフ$M(X,D)$ として定義する。
• モジュラス対の理論を用いて特異点と境界挙動に関する情報を符号化し、非ホモトピー的不変量を捉えることを可能にする。
• プレシャーブと移行の理論および局所化を用いて、$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ に三角カテゴリの構造を定義する。
• サイクル論的構成を用いて、$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 内の準同型群とBlochの高次チャウ群との間の比較を確立する。
• 既存のモチーフ理論と整合性を持つように、$\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ を$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ のフルな三角カテゴリ部分圏として埋め込むこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Voevodskyの有効モチーフのカテゴリは、非ホモトピー的不変現象を含むようにどのように拡張できるか？
• RQ2 境界挙動と特異点を捉えるモチーフのカテゴリを構築するための適切な幾何的入力とは何か？
• RQ3 モジュラス対のモチーフ間の準同型は、Blochの高次チャウ群のような代数的サイクルの観点から記述可能か？
• RQ4 新しいカテゴリ$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ は、古典的なカテゴリ$\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ とどのように関係しているか？
• RQ5 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ が持つ構造的性質（例えば三角カテゴリ的性質や局所化の性質）は何か？

主な発見

• $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ は、非ホモトピー的不変現象を含むように$\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ を拡張する三角カテゴリとして構成された。
• 固有モジュラス対$(X,D)$ にモチーフが割り当てられる。ここで$X$ は$k$-多様体で、$D$ は$X \setminus |D|$ が滑らかであるような除数である。
• $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ は、Voevodskyの構成に類似した枠組みに基づいて構築され、固有モジュラス対のカテゴリを出発点としている。
• 特定の状況下で、準同型群$\mathrm{Hom}_{\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}}(M(X,D), M(Y,E))$ は、適切な$r$ と$i$ に対してBlochの高次チャウ群$\mathrm{CH}^r(X \setminus |D|, 2r - i)$ に同型である。
• 構成により、$\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ が$\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ のフルな三角カテゴリ部分圏として埋め込まれ、古典的なモチービック構造が保存される。
• 理論により、除数$D$ に符号化された境界データが直接的にモチービック構造に影響を与えるフレームワークが提供され、非不変現象の研究が可能になる。