[論文レビュー] Motivic decompositions of moduli spaces of vector bundles on curves

Tomás L. Gómez, Kyoung-Seog Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、 genus g ≥ 2 の滑らかな射影的曲線 C 上で、固定された determinant L（次数 d = 1）を持つ安定なベクトル束のモジュライ空間 M(r, L)（r = 2, 3）の新しいモチビック分解を提供する。ハーラー＝ナラシマンフィルトレーションと、代数的多様体のグロテンディーク環およびヴォエバドスキーのモチーフにおけるモチビックゼータ関数を用いて、対称積 C と関連する式を含む明示的なモチビック・ポincare多項式の公式を導出し、r = 2 の場合にナラシマンの予想のモチビック版を確認するとともに、r = 3 の場合にまで拡張する。

ABSTRACT

Let $r \geq 2, d$ be two integers which are coprime to each other. Let $C$ be a smooth projective curve of genus $g \geq 2$ and $M(r,L)$ be the moduli space of rank $r$ stable vector bundles on $C$ whose determinants are isomorphic to a fixed line bundle $L$ of degree $d$ on $C.$ In this paper, we study motivic decomposition of $M(r,L)$ for $r=2, 3$ cases. We give a new proof of a version of the main result of arXiv:1806.11101. We also found a new motivic decomposition of $M(3,L).$

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線 C（genus g ≥ 2）上で、固定された determinant L（次数 d = 1）を持つ安定なベクトル束のモジュライ空間 M(r, L) の新しいモチビック分解を提供すること。
• ハーラー＝ナラシマンフィルトレーションおよびモチビックゼータ関数に基づく一様的かつ簡潔な方法を用いて、M(2, L) のモチビック・ポincare多項式の公式を再導出し、ナラシマンの予想のモチビック版を確認すること。
• モチビック分解をランク 3 の場合にまで拡張し、C の対称積およびヤコビアンを用いて χ(M(3, L)) の新しい公式を提示すること。
• これらのモチビック分解が、代数的多様体のグロテンディーク環にとどまらず、ヴォエバドスキーの混合モチーフの圏においても成り立つことを確立すること。

提案手法

• ハーラー＝ナラシマンフィルトレーションを用いて、グロテンディーク環の多様体において、モジュライスタック Bunr,d を安定部分と不安定部分に分解する。
• ラインバンドルの拡張のパrametrization を用いて、不安定部分のモチビッククラスを計算し、Ext および Hom 空間の次元を決定するためにリーマン・ロッホを適用する。
• 完成化されたグロテンディーク環のチャウモチーフにおいて、モチビックゼータ関数の恒等式 Z(C, t) = (1 + t)^h1(C) / ((1 - t)(1 - Lt)) を適用する。
• 文献 [1, 10, 11, 13, 15] からのモチビック分解を用いて、対称積 Ck のモチーフをヤコビアンおよびラインバンドルで表現する。
• 全クラス Bunr,d から不安定部分を差し引くことで、モチビック・ポincare多項式を導出する。
• 結果の式をグロテンディーク環および K0(dDMgm) において、予想された形と比較することで、分解の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーラー＝ナラシマンフィルトレーションおよびモチビックゼータ関数に基づく一様的かつ簡潔な方法を用いて、M(2, L) のモチビック・ポincare多項式を再導出できるか？
• RQ2 M(3, L) のモチビック分解は、その導来圏の予想された半直交分解と類似した形で存在するか？
• RQ3 r = 2, 3 の場合に、対称積 Ck およびヤコビアン J(C) のモチビッククラスが、M(r, L) のモチビック分解においてどのように相互作用するか？
• RQ4 これらのモチビック分解は、どの程度ヴォエバドスキーのモチーフの圏および代数的多様体のグロテンディーク環へと持ち上げられるか？
• RQ5 これらのモチビック分解は、導来圏の分解および予想されるフカヤカテゴリの分解と整合性を示すか？

主な発見

• r = 2, d = 1 の場合、M(2, L) のモチビック・ポincare多項式は ∑_{k=0}^{g-2} χ(Ck)(L^k + L^{3g-3-2k}) + χ(C^{g-1})L^{g-1} で与えられ、ナラシマンの予想のモチビック版が確認される。
• r = 3, d = 1 の場合、モチビック・ポincare多項式は ∑_{k1+k2<2(g-1)} χ(C^{k1} × C^{k2})(L^{k1+2k2} + L^{8g-8-2k1-3k2}) + ∑_{k1+k2=2(g-1), k1<g-1} χ(C^{k1} × C^{k2})(L^{k1+2k2} + L^{8g-8-2k1-3k2}) + χ(C^{g-1} × C^{g-1})L^{3(g-1)} で与えられる。
• cK0(Var) 内のモチビッククラス [M(r, L)] は、C の対称冪および L の累乗の積の和に分解可能であり、その係数はグロテンディーク環に属する。
• 同じモチビック分解は、ヴォエバドスキーの混合モチーフの圏のグロテンディーク群 K0(dDMgm) においても成り立つ。
• Bun2,L の不安定部分は [J(C)]L^g / ((L-1)(L^2-1)) として計算され、全クラスから差し引かれて [M(2, L)] が回復される。
• ナラシマンの導来圏予想は、モチビック分解によって裏付けられ、モチビック分解と半直交分解との間の整合性が示唆される。