[論文レビュー] Motivic Hodge modules

Brad Drew|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、C 上の有限型スキーム上のモチビックホッジモジュールに対して、準分類的増強付きの六ファンクター形式的体系を構築し、A1-ホモトピー理論から自然なモチビック実現を提供する。この実現は、可解的対象上でグロテンディークの六ファンクターと整合する。主な貢献は、デリーニの混合ホッジ構造および絶対的ホッジコホモロジーを豊かにされたホモオブジェクトを通じて実現する、完全に増強された t-構造を備えたフレームワークを提供することであり、西田の混合ホッジモジュールの導来圏への実現関手の構成に向けた実行可能な道筋を提示する。

ABSTRACT

We construct a quasi-categorically enhanced Grothendieck six-functor formalism on schemes of finite type over the complex numbers. In addition to satisfying many of the same properties as M. Saito's derived categories of mixed Hodge modules, this new six-functor formalism receives canonical motivic realization functors compatible with Grothendieck's six functors on constructible objects.

研究の動機と目的

• A1-ホモトピー理論から西田の混合ホッジモジュールの導来圏への実現関手を構成する際の障害を解消すること。現状、この関手は準分類的増強を欠いている。
• グロテンディークの六ファンクターと整合し、SH(−) からの自然なモチビック実現関手を備えた、準分類的増強付きのモチビックホッジモジュール形式的体系を構築すること。
• デリーニの混合ホッジ構造および絶対的ホッジコホモロジーが、モチビックホッジ形式的体系における豊かにされたホモオブジェクトを通じて自然に実現されるフレームワークを提供すること。
• 可解的モチビックホッジカテゴリに重み構造の存在を確立し、純粋ホッジ構造の明示的生成子と拡張に関する安定性を示すこと。
• モチビックホッジ形式的体系から西田のカテゴリへの比較関手が完全に faithful であるべきであることを示し、混合ホッジモジュールを実現する問題を、こうした比較関手の構成に還元すること。

提案手法

• 有限型C-スキーム X に対して、X ↦ DH(X) という準分類的増強付き六ファンクター形式的体系を構築し、単体的スキームへ拡張する。
• 可解的モチビックホッジモジュールのカテゴリ DHc(X) を、有理数係数の極小的混合ホッジ構造の導来圏 Db(MHSp_Q) に自然に豊かにすること。
• この豊かさを用いて、Hs_B(X,Q)(r) を単位オブジェクトのテイトねじれの間の豊かにされたホモオブジェクトの s 番目のコホモロジーとして実現する。
• エタール局所化された A1-ホモトピー圏を通る自然な関手 SH(−) → DH(−) を介して、モチビック実現がグロテンディークの六ファンクターと整合することを確立する。
• 純粋性およびコホモロジー的台における消滅条件を用いて、ブラウンの代表可能性定理および再構成定理を適用し、DHc(X) に重み構造を構成する。
• ヒロナカの分解およびデ・ジョンの変形を用いて、h-降下性を確立し、重み構造の公理を検証する。この際、絶対的ホッジコホモロジーに関してはベイリンソン–ソウルの予想が成立しているものとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチビックホッジモジュールに対して、グロテンディークの操作と整合し、デリーニの混合ホッジ構造を実現する準分類的増強付き六ファンクター形式的体系を構築できるか？
• RQ2 A1-ホモトピー理論からモチビックホッジモジュールへの実現関手を、可解的対象上で六ファンクターと可換になるように構築できるか？
• RQ3 モチビックホッジ形式的体系の可解的部分カテゴリに重み構造が存在するか？ そして、それが明示的に記述可能か？
• RQ4 モチビックホッジ形式的体系から西田の導来圏への比較関手が完全に faithful であるか？
• RQ5 A1-ホモトピー理論に既知の t-構造がない状況下でも、モチビックホッジ形式的体系に t-構造の存在を確立できるか？

主な発見

• モチビックホッジ形式的体系 DH(X) は、有限型C-スキーム上で準分類的増強付き六ファンクター系を提供し、グロテンディークの操作と整合し、単体的スキームへ拡張可能である。
• 可解的モチビックホッジモジュールのカテゴリ DHc(X) は Db(MHSp_Q) に自然に豊かにされ、デリーニの混合ホッジ構造 Hs_B(X,Q)(r) は、単位オブジェクトのテイトねじれ間の豊かにされたホモオブジェクトの s 番目のコホモロジーとして実現される。
• SH(−) → DH(−) というモチビック実現関手は、可解的対象に制限した場合、グロテンディークの六ファンクターと整合し、A1-ホモトピー理論への自然な接続を提供する。
• 係数系 DHc(−)⊗ は、純粋ホッジ構造の集合 G に対して一意な G-可解的重み構造を備え、比較準同型 ρ∗,⊗_Hdg,c は重み正確である。
• 写像 ι∗,⊗_c: DHc(−)⊗ → DHc(−)⊗ は重み正確であり、形式的体系は、Db_c((−)an,Q) 上の perverse t-構造を引き下ろす t-構造の存在を除き、混合ホッジ理論における可解的係数の理論のすべての望ましい性質を満たす。
• DHc(−) に重み構造が存在するためには、ベイリンソン–ソウルの予想は必要ではなく、絶対的ホッジコホモロジーに関しては類似の予想が既に成立していることが知られている。