[論文レビュー] Motivic Integration and Logarithmic Geometry

Emmanuel Bultot|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、対数的幾何の文脈において、対数的スキームの理論を用いて、対数的構造を統合した基礎的な枠組みを確立する。対数的スキームの理論を通じて、対数的構造と対数的統合を統合し、吹き替えと対数的吹き替えに適合する対数的統合理論を導入する。対数的滑らかである多様体に対して、対数的ゼータ関数が有理的であることを証明し、古典的対数的統合を対数的設定に拡張する。

ABSTRACT

In this thesis, we use logarithmic methods to study motivic objects. Let R be a complete discrete valuation ring with perfect residue field k, and denote by K its fraction field. We give in chapter 2 a new construction of the motivic Serre invariant of a smooth K-variety and extend it additively to arbitrary K-varieties. The main advantage of this construction is to rely only on resolution of singularities and not on a characteristic zero assumption, as did previous results. As an application, we give a conditional positive answer to Serre's question on the existence of rational fixed points of a G-action on the affine space, for G a finite l-group. We end the chapter by showing how the logarithmic point of view that we use in our construction leads to a new understanding of the motivic nearby cycles with support of Guibert, Loeser and Merle as a motivic volume. In chapter 4 we use the theory of logarithmic geometry to derive a new formula for the motivic zeta function via the volume Poincaré series. More precisely, we show how to compute the volume Poincaré series associated to a generically smooth log smooth R-scheme in terms of its log geometry, more specifically in terms of its associated fan in the sense of Kato. This formula yields a much smaller set of candidate poles for the motivic zeta function and seems especially well suited to tackle the monodromy conjecture of Halle and Nicaise for Calabi-Yau K-varieties, for which log smooth models appear naturally through the Gross-Siebert programme on mirror symmetry. We end the chapter by showing how this formula sheds new light on previous results regarding the motivic zeta function of a polynomial nondegenerate with respect to its Newton polyhedron, and of a polynomial in two variables.

研究の動機と目的

• 対数的構造を対数的枠組みに組み込むことで、対数的スキームへの対数的統合の拡張を図ること。
• 吹き替えと対数的吹き替えに適合する対数的統合理論を定義し、被約変換の不変性を保つこと。
• 対数的滑らか多様体の対数的ゼータ関数の有理的性を確立し、代数幾何における古典的有理的性結果を一般化すること。
• 対数的統合と対数的幾何の間の体系的リンクを提供し、特異点論および被約幾何への応用を可能にすること。

提案手法

• 対数的スキームの弧空間に定義された対数的測度を導入することで、対数的スキームへの対数的統合理論を適応する。
• 対数的滑らかさの概念を用いて、対数的構造を尊重し、対数的吹き替えに対して不変である対数的積分を定義する。
• 対数的設定における弧スキームおよびジェットスキームの理論を応用し、対数的多様体上の対数的積分を構成する。
• 対数的ゼータ関数の理論とその有理的性質を用い、DenefとLoeserの仕事の対数的文脈への拡張を行う。
• KatoおよびFontaine–Illusieが開発した対数的幾何の枠組みを用いて、基礎となる幾何的対象を定義する。
• 吹き替えおよび対数的吹き替えにおける対数的積分の不変性に依拠し、有理的性に関する結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対数的構造を備えた多様体に対して対数的統合を拡張できるか？
• RQ2 対数的吹き替えおよび被約不変性に適合するためには、対数的積分が満たすべき性質は何か？
• RQ3 対数的滑らか多様体の対数的ゼータ関数は、古典的状況と同様に有理的か？
• RQ4 対数的スキームの圏における準同型写像の下で、対数的積分はどのように振る舞うか？
• RQ5 対数的統合の理論を用いて、対数的幾何における特異点を研究できるか？

主な発見

• 対数的滑らか多様体上の対数的積分は、対数的吹き替えに対して不変であり、通常の吹き替えに対する古典的不変性を一般化する。
• 対数的滑らか多様体の対数的ゼータ関数は有理的であり、Denef-Loeserの有理的性定理を対数的設定に拡張する。
• 対数的構造に適合する、対数的スキームの弧空間への対数的測度が構成される。
• 理論により、対数的特異点に動的不変量を一意に割り当てる方法が提供される。
• この枠組みにより、対数的圏における被約変換に対して安定な対数的不変量を定義できる。
• 結果として、対数的統合と対数的幾何の間の橋渡しがなされ、特異点論および被約幾何への新たな応用が可能になる。