[論文レビュー] Motivic integration over wild Deligne-Mumford stacks

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴的を持つべき乗級数環上の野生的デリーニ＝マムフォードスタックに対するモチビック積分を構築し、特異的かつ非タームスタックを含む既存理論を一般化する。変数変換公式をシフト関数を含めて確立し、床上モチーフの不変性をクレパント写像に関して示し、野生的モチービック McKay 対応および Bhargava の質量公式のモチービック版を導出する。

ABSTRACT

We develop the motivic integration theory over formal Deligne-Mumford stacks over a power series ring of arbitrary characteristic. This is a generalization of the corresponding theory for tame and smooth Deligne-Mumford stacks constructed in earlier papers of the author. As an application, we obtain the wild motivic McKay correspondence for linear actions of arbitrary finite groups, which has been known only for cyclic groups of prime order. In particular, this implies the motivic version of Bhargava's mass formula as a special case. In fact, we prove a more general result, the invariance of stringy motives of (stacky) log pairs under crepant morphisms.

研究の動機と目的

• モチービック積分理論を、特徴的で割り切れる位数の安定化子をもつ野生的デリーニ＝マムフォードスタックに拡張すること。
• 変数変換公式を、野生的状況におけるねじれた弧に適したシフト関数を含めて一般化すること。
• スタック的対数対のクレパント双有理的写像に関してストリングィモチーフの不変性を確立すること。
• 巡回群の素数位数に限られていた既存結果を拡張し、任意の有限群作用に対して野生的モチービック McKay 対応を確立すること。
• 一般化された対応の特別な場合として、Bhargava の質量公式のモチービック版を導出すること。

提案手法

• E がガロア被覆である形式的ディスクの群 G による商スタック [E/G] からの準同型として、ねじれた弧を導入し、古典的弧を一般化する。
• k[[t]] 上の形式的 DM スタックに対して、ガロア拡大のモジュライを用いてねじれた弧の空間 $\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$ を構成する。
• 空間 $\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$ 上にモチービック測度を定義し、ターム状況における年齢不変量を一般化するシフト関数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$ を導入する。
• 正則な双有理的写像に関して、ヤコビアンの位数 $\mathfrak{j}_f$ とシフト関数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$, $\mathfrak{s}_{\mathcal{Y}}$ を含む一般化された変数変換公式を証明する。
• この理論を用いてスタック的対数対のストリングィモチーフを定義し、クレパント写像に関してその不変性を証明する。
• 不変性を応用して、野生的モチービック McKay 対応およびモチービック Bhargava の質量公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴的における非ターム的安定化子をもつ野生的デリーニ＝マムフォードスタックに対して、どのようにモチービック積分を拡張できるか？
• RQ2 野生的かつ特異的状況における変数変換公式の正しい一般化は何か？そしてシフト関数はどのような役割を果たすか？
• RQ3 スタック的対数対のストリングィモチーフを定義し、野生的状況においてクレパント写像に関して不変であることを示せるか？
• RQ4 巡回群の素数位数に限られていた既存の結果を拡張し、任意の有限群作用に対して野生的モチービック McKay 対応が成り立つか？
• RQ5 一般化された McKay 対応の特別な場合として、Bhargava の質量公式のモチービック版を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、シフト関数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$ と $\mathfrak{s}_{\mathcal{Y}}$ を含む、野生的 DM スタックにおけるモチービック積分の一般化された変数変換公式を確立した。これらはターム状況における年齢不変量を一般化する。
• スタック的対数対のクレパント双有理的写像に関してストリングィモチーフの不変性を証明し、ターム状況からの主要な性質を拡張した。
• 任意の有限群作用に対して、野生的モチービック McKay 対応が確立され、理論における長年の欠落を解消した。
• Bhargava の質量公式のモチービック版は、野生的 McKay 対応の特別な場合として得られた。
• 非線形的かつ特異的状況におけるシフト関数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$ が決定され、従来の結果を一般化するとともに、Artin および Swan の正規分岐指数と関連づけられた。