[論文レビュー] Motivic invariants of Artin stacks and 'stack functions'

Dominic Joyce|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アフィンな幾何的安定化子をもつ有限型のアーティンスタックへ、バーチャル・ポアンカレ多項式やホッジ多項式といったモチビック不変量を拡張する。オイラー乗数が ${\mathbb{G}}_m$ の不変量が消えるために拡張できないという障害を乗り越えるために、バーチャルランクと群クラス代数を用いたねじれ構成を導入する。スタック関数を、可 constructible 関数の普遍的一般化として定義し、引き戻しや押し出しといった関手的演算を備えた。スタックのための精製されたオイラー乗数は、再帰的トーラスと再帰的アーベル群の商の構造を活用して構成される。

ABSTRACT

An invariant I of quasiprojective K-varieties X with values in a commutative ring R is "motivic" if I(X)= I(Y)+I(X\Y) for Y closed in X, and I(X x Y)=I(X)I(Y). Examples include Euler characteristics chi and virtual Poincare and Hodge polynomials. We first define a unique extension I' of I to finite type Artin K-stacks F, which is motivic and satisfies I'([X/G])=I(X)/I(G) when X is a K-variety, G a "special" K-group acting on X, and [X/G] is the quotient stack. This only works if I(G) is invertible in R for all special K-groups G, which excludes I=chi as chi(K*)=0. But we can extend the construction to get round this. Then we develop the theory of "stack functions" on Artin stacks. These are a universal generalization of constructible functions on Artin stacks, as studied in the author's paper math.AG/0403305. There are several versions of the construction: the basic one SF(F), and variants SF(F,I,R),... "twisted" by motivic invariants. We associate a Q-vector space SF(F) or an R-module SF(F,I,R) to each Artin stack F, with functorial operations of multiplication, pullbacks phi^* and pushforwards phi_* under 1-morphisms phi : F --> G, and so on. They will be important tools in the author's series on "Configurations in abelian categories", math.AG/0312190, math.AG/0503029, math.AG/0410267 and math.AG/0410268.

研究の動機と目的

• 準射影的多様体から、アフィンな幾何的安定化子をもつ有限型アーティンスタックへ、バーチャル・ポアンカレ多項式やホッジ多項式といったモチビック不変量を拡張すること。
• オイラー乗数が $\chi({\mathbb{G}}_m) = 0$ であるために拡張できないという障害を、バーチャルランクと群クラス代数を用いたねじれ構成によって解消すること。
• アーティンスタック上での「スタック関数」の普遍的枠組みを定義し、可 constructible 関数を一般化するとともに、引き戻しや押し出しといった関手的演算を備えること。
• 半安定対象のモジュライスタックのモチビック不変量を用いて、アーベル圏における不変量を計算するための道具を提供すること。
• 再帰的トーラスと再帰的アーベル群の商の構造を活用して、アーティンスタックのための精製されたオイラー乗数を確立すること。

提案手法

• 特殊な ${\mathbb{K}}$-群 $G$ に対して $\Upsilon(G)$ が目標環 $\Lambda$ 内で可逆であるとき、モチビック不変量 $\Upsilon$ からアーティンスタックへ一意に拡張する $\Upsilon^\prime$ を定義し、$\Upsilon^\prime([X/G]) = \Upsilon(X)/\Upsilon(G)$ が成り立つようにすること。
• $\ell = 1$（例：オイラー乗数）の場合に、非アーベル群を $T^G$ の部分群 $Q \subseteq T^G$ の $\Lambda$-線形結合として扱うために「バーチャルランク」を導入すること。
• 1-準同型 $\phi$ に対して乗法、引き戻し $\phi^*$、押し出し $\phi_*$ を備えた $\Lambda$-加群としてのスタック関数 $\mathop{\rm SF}\nolimits({\mathfrak{F}})$ およびねじれ版 $\mathop{\underline{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \Upsilon, \Lambda)$ を構成すること。
• スタック関数 $\mathop{\hat{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \chi, {\mathbb{Q}})$ の定義において、非自明なファイブレーションに対しても $\chi(X) = \chi(F)\chi(Y)$ の乗法的性質を組み込むために、関係 (ii') を修正すること。
• $H \cong {\mathbb{G}}_m^k \times K$（$K$ は有限アーベル群）の形の $[H]$ を基底とする $\Lambda$-代数 $\bar{\Lambda}$ を定義し、$\Upsilon^\prime([[X/T^G]])$ を $\Upsilon([Y_i])$ の $\Lambda$-線形結合として表現すること。
• スキームまたは代数的空間に対して、$\mathop{\hat{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \chi, {\mathbb{Q}})$ が古典的可 constructible 関数 $\mathop{\rm CF}\nolimits({\mathfrak{F}})$ に同型であることを証明し、古典的状況での構成の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の不変量が可逆でない場合に、バーチャル・ポアンカレ多項式やホッジ多項式といったモチビック不変量を多様体からアーティンスタックへどのように拡張できるか。
• RQ2 オイラー乗数が $\chi({\mathbb{G}}_m) = 0$ であるにもかかわらず、アーティンスタックのための精製されたオイラー乗数を正しく定義する方法は何か。
• RQ3 スタック関数は、関手的演算（引き戻しや押し出し）を備えたアーティンスタック上の可 constructible 関数の普遍的一般化として機能するか。
• RQ4 スタックがスキームまたは代数的空間である場合、新しいスタック関数空間は古典的可 constructible 関数とどのように関係するか。
• RQ5 ファイブレーションにおける乗法性といった構造的性質は、拡張された不変量の定義と整合性の確認にどのように利用できるか。

主な発見

• 特殊な ${\mathbb{K}}$-群 $G$ に対して $\Upsilon(G)$ が可逆であるという条件下で、モチビック不変量のアーティンスタックへの拡張 $\Upsilon^\prime$ は一意に定まり、商スタックに対して $\Upsilon^\prime([X/G]) = \Upsilon(X)/\Upsilon(G)$ を満たす。
• $\ell = 1$（例：オイラー乗数）の場合、バーチャルランクを導入することで障害を克服し、$\Upsilon^\prime([[X/G]])$ を $T^G$ の部分群 $Q \subseteq T^G$ の $\Lambda$-線形結合として表現することで、整合的な不変量が得られる。
• スタック関数 $\mathop{\hat{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \chi, {\mathbb{Q}})$ の構成は、ファイブレーションにおけるオイラー乗数の特別な乗法的性質を組み込み、モジュール定義における関係を強化する。
• スキームまたは代数的空間に対して、スタック関数空間 $\mathop{\hat{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \chi, {\mathbb{Q}})$ は古典的可 constructible 関数 $\mathop{\rm CF}\nolimits({\mathfrak{F}})$ に同型である。これは、既存理論との整合性を確認する。
• ねじれスタック関数モジュール $\mathop{\underline{\rm SF}}\nolimits({\mathfrak{F}}, \Upsilon, \Lambda)$ は、乗法、引き戻し、押し出し、テンソル積といったすべての標準的演算を備えており、幾何的・カテゴリカル不変量の計算に強力なツールを提供する。
• この枠組みにより、半安定対象のモジュライスタックに $\Upsilon^\prime$ を適用することで、安定性条件をもつアーベル圏の不変量を定義でき、計算上の有用性を持つ恒等式や変換法則が得られる。