[論文レビュー] Motivic Poisson summation

Ehud Hrushovski, David Kazhdan|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数体上の可解的指数和のGrothendieck環におけるモチビック積分を用いて、関数体におけるポアソン和公式のモチビック版を構築する。同型な素数次数の除法代数の上での共役作用に関して不変なテスト関数のフーリエ変換の間には一致が成立し、そのモチビックフーリエ変換がGrothendieck環の局所化において同値であることを証明する。これにより、古典的結果がモチビック設定へと一般化される。

ABSTRACT

We develop a "motivic integration" version of the Poisson summation formula for function fields, with values in the Grothendieck ring of definable exponential sums. We also study division algebras over the function field, and obtain relations among the motivic Fourier transforms of a test function at different completions. We use these to prove, in a special case, a motivic version of a theorem of Deligne-Kazhdan-Vigneras.

研究の動機と目的

• 関数体における古典的ポアソン和公式をモチビック設定に拡張すること。
• 関数体上の除法代数におけるテスト関数のモチビックフーリエ変換を研究すること。
• 同型な除法代数上での一致するテスト関数のモチビックフーリエ変換の間の対応を確立すること。
• 一般化されたヤコビアンなどのグローバル幾何的構造を通じて、異なる完備化上のモチビック積分を結びつけること。
• モチビック畳み込みおよびフーリエ変換構造が除法代数の同型に関してどのように保存されるかを示すこと。

提案手法

• 定義可能な指数和のGrothendieck環 $\mathop{\operatorname{K}}_e$ におけるモチビック積分を用いる。
• 群の多様体の類で割ることを許すために、$\mathop{\operatorname{K}}_e[Gr^{-1}]$ という局所化を導入する。
• 除法代数の乗法的群による共役作用に関して不変なテスト関数にモチビックフーリエ変換を適用する。
• グローバルなテスト関数および関数体の有理点の和をとるモチビックデルタ関数 $\delta^K$ を定義する。
• 有理点を持たない曲線 $C$ のような非代表可能なピカード函手のためのモチビック類を、アーデル商を用いて定義する。
• リー多項式の構成および指数写像を用いて、$M_n/M_n^k$ および $1+M_n/1+M_n^k$ 上の加法的および乗法的畳み込み構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体におけるモチビック設定で、数値的値の代わりにGrothendieck環の類を用いることで、ポアソン和公式を定式化できるか？
• RQ2 素数次数の同型な除法代数上での共役作用に関して不変なテスト関数のモチビックフーリエ変換どうしの関係は何か？
• RQ3 異なる局所完備化上のモチビック積分は、一般化されたヤコビアンのようなグローバル幾何的不変量を通じてどの程度関連づけられるか？
• RQ4 加法的および乗法的畳み込み代数の間の軌道法による同型写像がモチビック設定へと拡張可能か？
• RQ5 定義可能な商および群作用は、非代表可能なピカード函手のためのモチビック類を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 関数体 $\mathfrak{f}(t)$ 上の素数次数の同型な除法代数 $D$ と $\dot{D}$ における局所的テスト関数の対応するモチビックフーリエ変換が、局所化されたGrothendieck環 $\mathop{\operatorname{K}}_e[Gr^{-1}]$ において一致することが示された。
• 有理点の和をとるモチビックデルタ関数 $\delta^K(O_c)$ の、整数的共役類 $O_c$ における値は、中心化曲線 $C$ の一般化されたヤコビアンに関係しており、アーデル商を用いることで $Pic^0(C)$ のモチビック類が適切に定義される。
• 指数写像は、加法群 $A_n = M_1/M_n$ 上の $D^*$-不変関数の環と乗法群 $G_n = (1+M_1)/(1+M_n)$ 上の関数の環との間でモチビック同型を誘導し、畳み込み構造を保存する。
• 証明は、加法的および乗法的畳み込み方程式の解集合の間で双対写像を誘導するリー多項式自己同型 $H$ に依存しており、Grothendieck環における類の等価性を保証する。
• この構成は基底拡大に関して安定であり、$C(\mathfrak{f})$ に有理点が存在しない場合でも、$Pic^0(C)$ をアーデル商として扱うことで、体の種類に依存せず一様に機能する。
• 古典的な除法代数と $GL_n$ 間の表現対応に関する結果が一般化され、モチビック畳み込み代数が軌道法の下でモチビック圏において同型であることが示された。