[論文レビュー] Motivic structures in non-commutative geometry

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、代数幾何におけるモチビック構造およびホッジ理論的構造の非可換一般化を提案し、ℚ を含む体上の滑らかで固有な DG代数へ、de Rham コホロロジーおよび周期的循環ホモロジーを拡張する。半トポロジカル K-理論から周期的循環ホモロジーへの周期性に適合するレギュレーター写像の予想を提示し、これにより、複素数体へのベースチェンジを施した場合に周期的循環ホモロジーが純ホッジ構造を備えることを示唆する。

ABSTRACT

We review some recent results and conjectures saying that, roughly speaking, periodic cyclic homology of a smooth non-commutative algebraic variety should carry all the additional "motivic" structures possessed by the usual de Rham cohomology of a smooth algebraic variety (specifically, an R-Hodge structure for varieties over R, and a filtered Dieudonne module structure for varieties over Z_p). To appear in Proc. ICM 2010.

研究の動機と目的

• 滑らかで固有な代数的多様体に対して以前に定義されたモチビック構造およびホッジ理論的構造を、周期的循環ホモロジーを用いて非可換設定へと拡張すること。
• 半トポロジカル K-理論から周期的循環ホモロジーへの非可換類似のベイリンソン・レギュレーター写像を定式化すること。
• 複素数体上の滑らかで固有な DG代数の周期的循環ホモロジーが、古典的ホッジ理論を一般化して、重み i の標準的な純ホッジ構造を備えることを確立すること。
• サイクロトミックトレース写像と安定ホモトピー論を用いて、非可換代数幾何における代数的 K-理論、循環ホモロジー、モチビックコホモロジーを統合すること。
• フィルター付きディエュドンヌ加群およびトポロジカル循環ホモロジーを用いて、非可換文脈におけるモチビックコホモロジーを実現するための枠組みを提供すること、特に p-進および複素数設定において。

提案手法

• ℚ を含む体 k 上の DG代数の枠組みを用いて、古典的代数幾何を非可換設定へ一般化する。
• 半トポロジカル K-理論から周期的循環ホモロジーへのサイクロトミックトレース写像を適用し、トポロジカル循環ホモロジーとサイクロトミック複体を活用する。
• K-st•(A•) における β の作用と周期的構造を結びつけるために、HP•(A•) に周期性写像 u を導入する。
• K-st•(A•)⊗k[β,β⁻¹] ≅ HP•(A•) という同型を用いて、ℂ へのベースチェンジにより周期的循環ホモロジーに実構造を導入する。
• 得られた実構造と標準的ホッジフィルトレーションを用いて、重み i の純ホッジ構造を定義する。
• Fiedlander および Walker の半トポロジカル K-理論に関する既知の結果（滑らかで固有な多様体に対して）を用いて、予想に対する根拠を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Rham コホロロジーにおけるモチビック構造およびホッジ理論的構造は、周期的循環ホモロジーを用いて非可換代数的多様体へ拡張可能か？
• RQ2 半トポロジカル K-理論から周期的循環ホモロジーへのレギュレーター写像は存在し、非可換設定において周期性適合性を満たすか？
• RQ3 複素数体上の滑らかで固有な DG代数の周期的循環ホモロジーが、重み i の標準的な純ホッジ構造を備える条件は何か？
• RQ4 サイクロトミックトレース写像およびトポロジカル循環ホモロジーは、非可換幾何におけるモチビックコホモロジーや代数的 K-理論とどのように関係するか？
• RQ5 これらの予想は、非可換 DG代数へと古典的ベイリンソンおよびデリーニュの予想をどの程度一般化するか？

主な発見

• 予想 8.6 は、K-st•(A•)⊗ℤ[β,β⁻¹] と HP•(A•) 間の周期性適合同型を提示し、周期的循環ホモロジーが K-理論の代数的構造を引き継ぐことを示唆する。
• 複素数体上の滑らかで固有な DG代数 A• に対して、周期的循環ホモロジー HP•(A•) は、ベースチェンジにより標準的な実構造を備え、β の作用と適合する。
• 予想 8.7 は、HP•(A•) の実構造と標準的ホッジフィルトレーション F• が、重み i の純ホッジ構造を形成すると主張する。
• これらの予想は、Fiedlander および Walker の研究によって裏付けられており、k 上で滑らかで固有な多様体に quasi-isomorphic な DG代数に対して同型が成立することを証明している。
• これらの予想は、Toën、Bondal、Neeman などの先行研究を精緻化しており、現在 Toën および Blanc によって調査中である。
• この枠組みは、サイクロトミックトレース写像が K-理論とコホモロジーを結ぶ中心的役割を果たす非可換ベイリンソン・レギュレーターの類似を示唆する。