[論文レビュー] Motivically functorial coniveau spectral sequences; direct summands of cohomology of function fields

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、任意のモチーフのコホモロジーに対して、モチーフ的関手的コヌエイションスペクトル系列を確立する。これは、comotivesの圏にGersten重み構造を導入することで達成され、BlochとOgusの古典的結果を一般化する。本稿は、滑らかで半局所的なスキームおよび関数体のコホモロジーが、それらの一般点のコホモロジーの直和成分であることを証明し、Voevodskyのモチーフと重み構造を通じて、すべてのコホモロジー理論がモチーフを介して因数分解可能であることを拡張する。

ABSTRACT

We construct a 'triangulated analogue' of coniveau spectral sequences: the motif of a variety over a countable field is 'decomposed' (in the sense of Postnikov towers) into the twisted (co)motives of its points; this is generalized to arbitrary Voevodsky's motives. To this end we construct a 'Gersten' weight structure for a certain triangulated category of 'comotives': the latter is defined to contain comotives for all projective limits of smooth varieties; the definition of a weight structure was introduced in a preceding paper. The corresponding weight spectral sequences are essentially coniveau one; they are $DM^{eff}_{gm}$-functorial (starting from $E_2$) and can be computed in terms of the homotopy $t$-structure for the category $DM^-_{eff}$ (similarly to the case of smooth varieties). This extends to motives the seminal coniveau spectral sequence computations of Bloch and Ogus. We also obtain that the cohomology of a smooth semi-local scheme is a direct summand of the cohomology of its generic fibre; cohomology of function fields contain twisted cohomology of their residue fields (for all geometric valuations). We also develop further the general theory of weight structures for triangulated categories (independently from the 'motivic' part of the paper). Besides, we develop a certain theory of 'nice' pairings of triangulated categories; this subject seems to be new.

研究の動機と目的

• 任意のモチーフのコホモロジーに収束するモチーフ的関手的コヌエイションスペクトル系列を構成すること。
• DM^{eff}_{gm} 内の代表対象の t-切断を用いて、すべてのモチーフへの古典的Bloch-Ogusの E_2 項の計算を一般化すること。
• 滑らかで連結な半局所的スキームおよび関数体のコホモロジーが、それらの一般点のコホモロジーの直和成分であることを確立すること。
• モチーブ的ホモトピー論への応用を目的として、三角圏における重み構造と双対性の形式的枠組みを構築すること。
• 直和成分分解を通じてコホモロジーにおける単射性の結果のホモロジー的性質を明確化すること。

提案手法

• DM^{eff}_{gm} および関数体のcomotivesを含むcomotivesの圏に、Gersten重み構造を構成すること。
• Postnikov塔と仮想 t-切断を用いて、重みスペクトル系列を t-構造コホモロジーと関連付けること。
• 重み構造の形式的枠組みを適用し、滑らかで連結な半局所的スキームのコホモロジーが、その一般点のコホモロジーの直和成分であることを証明すること。
• pro-スキームのGysin区別三角形を用いて、関数体のcomotivesが、その残渣体のねじれcomotivesを含むことを確立すること。
• 三角圏における双対性理論を構築し、『よい双対性』を異なる圏間のペアリングとして導入すること。
• ホモトピー極限と導来関手を用いて、結果を非可算な基底体へ拡張するが、高次の射影極限 \\varprojlim^j の制御に制限が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のモチーフのコホモロジーに対するコヌエイションスペクトル系列をモチーフ的関手的にできるか？
• RQ2 なぜ半局所的スキームのコホモロジー群が、その一般点のコホモロジーに直和成分として埋め込まれるのか？
• RQ3 重み構造を用いて、滑らかでない多様体を超えて、古典的コヌエイションスペクトル系列を一般化できるか？
• RQ4 comotivesとpro-スキームは、関数体およびその残渣体のコホモロジー構造をどのように捉えているか？
• RQ5 これらの結果は非可算な基底体へどの程度拡張可能か？また、その際の障害は何か？

主な発見

• 基底体 $k$ が可算であるとき、滑らかで連結な半局所的スキームのコホモロジーは、その一般点のコホモロジーの直和成分である。
• 関数体のコホモロジーには、任意のその残渣体のねじれコホモロジーが直和成分として含まれる。
• 任意のモチーフのコホモロジーに対するコヌエイションスペクトル系列は、DM^{eff}_{-} 内の代表対象の t-切断を用いて記述され、BlochとOgusの結果を一般化する。
• comotivesの圏に、古典的コヌエイションフィルトレーションを一般化するGersten重み構造が構成された。
• 重み構造と双対性の形式的枠組みにより、モチーブコホモロジーにおける関手的性とスペクトル系列の体系的解析が可能になった。
• 非可算な $k$ の場合、無限大のホモトピー極限と高次の導来関手 $\varprojlim^j$ の制御に失敗するため、議論は破綻し、この場合の直和成分結果は未解決のままとなる。