[論文レビュー] Motzkin numbers of higher rank: Generating function and explicit expression

Toufik Mansour, Matthias Schork+1 more|ArXiv.org|Apr 21, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高ランクのモツキン数の母関数と明示的公式を導出し、古典的およびカラーモツキン数を一般化する。(u,l,d)-カラーモツキン路のケースを、より単純な(1,l,ud)形式に還元する一対一対応を確立し、高ランクのモツキン路の再帰的関係と母関数の導出を可能にする。代数的方程式と記号計算を用いて、ランク2、3、4について明示的な結果を得る。

ABSTRACT

The generating function and an explicit expression is derived for the (colored) Motzkin numbers of higher rank introduced recently. Considering the special case of rank one yields the corresponding results for the conventional colored Motzkin numbers for which in addition a recursion relation is given.

研究の動機と目的

• シュォークらが提起した、高ランクの(カラーモツキン数の)母関数と再帰的関係に関する未解決問題を解消すること。
• 上り、水平、下りのステップに重み(u,l,d)を導入することで、古典的モツキン数とカラーモツキン数を一般化すること。
• (u,l,d)-カラーモツキン路と(1,l,ud)-カラーモツキン路の間の一対一対応を確立し、解析を単純化すること。
• 最初の還元分解と代数的技法を用いて、高ランクのモツキン数の閉形式母関数と再帰的関係を導出すること。
• 非カラーモツキン数のランク3および4の母関数の明示的値と代数的方程式を計算し、高ランクケースの複雑さを示すこと。

提案手法

• 上り-下りペアの色の組み合わせを再定義することで、(u,l,d)-カラーモツキン路と(1,l,ud)-カラーモツキン路の間の一対一対応を構築する。
• 最初の還元分解を適用し、母関数方程式 $ M(x) = 1 + lxM(x) + udx^2M(x)^2 $ を導出し、閉形式母関数に至る。
• 明示的公式を導出：$ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $。
• ランクと位置でインデックス付けされた母関数 $ B_{i,j} $ を用いて、高ランクのモツキン数のための連立方程式系を導入する。
• 記号計算（MAPLEのgfunパッケージを用いて）代数的方程式を高次線形再帰に変換し、ランク3および4について処理する。
• 母関数 $ B_{0,0} $ の代数的構造を分析し、ランク4までで次数と係数のパターンを観察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクのモツキン数の母関数は何か？ そして、古典的およびカラーモデルにどのように一般化されるか？
• RQ2 (u,l,d)-カラーモツキン数に対して再帰的関係を導出可能か？ 特定のパrameter選択で既知の形に還元可能か？
• RQ3 高ランクのモツキン数の母関数の代数的構造はどのように振る舞い、その次数と係数構造にパターンがあるか？
• RQ4 非カラーモツキン数のランク3および4の母関数の明示的値と代数的方程式は何か？
• RQ5 高ランクのモツキン数に対して再帰的関係を体系的に導出する方法はあるか？ その最小の次数は何か？

主な発見

• (u,l,d)-カラーモツキン数の母関数は $ \sum_{n\geq 0}m_n^{(u,l,d)}x^n = \frac{1 - lx - \sqrt{(1 - lx)^2 - 4udx^2}}{2udx^2} $ であり、古典的ケースを一般化する。
• 明示的閉形式式が導出された：$ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $。
• ランク3では、母関数 $ B_{0,0} $ は次数8の代数的方程式を満たす：$ 0 = 1 - (1+x)B_{0,0} + 2xB_{0,0}^2 + x^2(1-2x)B_{0,0}^4 + \dots + x^8B_{0,0}^8 $。
• ランク4では、母関数は $ \mathbb{Z}[x] $ の係数を持つ次数16の代数的方程式に従い、$ B_{0,0} $ における多項式構造を確認する。
• 非カラーモツキン数のランク3の最初のいくつかの値は：$ m_1^{(\mathbf{1},1,\mathbf{1})} = 1 $、$ m_2 = 4 $、$ m_3 = 16 $、$ m_4 = 78 $、$ m_5 = 404 $、$ m_6 = 2208 $。
• ランク4の列は：$ m_1 = 1 $、$ m_2 = 5 $、$ m_3 = 25 $、$ m_4 = 155 $、$ m_5 = 1025 $、$ m_6 = 7167 $ で、OEISには登録されていない。