[論文レビュー] Mountain pass solutions for a mean field equation from two-dimensional turbulence

Tonia Ricciardi|ArXiv.org|Dec 5, 2006

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoなリーマン2次元多様体上における2次元乱流からの平均場方程式に対して、Struweの単調性テクニックとOhtsuka-Suzukiの爆発解析を用いて、非自明なマウンテンパス解の存在を確立する。主な結果は、$μ_1(M)|M|$ 未満で $λ_1 + λ_2 < μ_1(M)|M|$ かつ $λ_1, λ_2$ のうち大きい方の値が $8\pi$ を超える特定の領域 $λ$ において、コンパクト性の欠如にもかかわらず非自明な解が存在することを示している。

ABSTRACT

Using Struwe's "monotonicity trick" and the recent blow-up analysis of Ohtsuka and Suzuki, we prove the existence of mountain pass solutions to a mean field equation arising in two-dimensional turbulence.

研究の動機と目的

• 2次元乱流に由来する平均場方程式に対する非自明な解の存在を確立すること。
• $\max{\u03bb_1, \u03bb_2\} > 8\pi$ の場合に変分問題におけるコンパクト性の欠如に対処すること。
• 洗練された解析的技法を用いて、$8\pi$ の閾値を超えてマウンテンパス解の結果を拡張すること。
• $\u03bb_1, \u03bb_2$ のすべての組 $(\u03bb_1, \u03bb_2) \in \u03bb$ に対して解の存在を示すために、爆発解析による集中の排除を行うこと。

提案手法

• Struweの単調性テクニックを用いて、$\u03bb$ にほぼすべての $(\u03bb_1, \u03bb_2)$ に対して有界なPalais-Smale列を構成する。
• 関数 $I_{\u03bb_1,\u03bb_2}(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 - \u03bb_1 G(u) - \u03bb_2 G(-u)$ の変分的構造を適用し、$G(u) = \ln\left(\frac{1}{|M|}\int_M e^u dv_g\right)$ を用いる。
• OhtsukaとSuzukiの爆発解析を用いて、解における集中現象を分類する。
• $I_{\u03bb_1,\u03bb_2}$ のマウンテンパス構造を、すべての $(\u03bb_1, \u03bb_2) \in \u03bb$ に対して用いる。
• $u_n$ と $-u_n$ の爆発集合 $\mathcal{S}_1$ と $\mathcal{S}_2$ を分析し、コンパクト性、片側集中、両側集中の3つのタイプに分類する。
• 爆発が生じるならば、総質量 $\u03bb_1^* + \u03bb_2^*$ が $\u03bc_1(M)|M|$ を超えることによる矛盾を用いて、コンパクト性が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元乱流における平均場方程式に対して、$\max{\u03bb_1, \u03bb_2\} > 8\pi$ のときマウンテンパス解が存在するか？
• RQ2 単調性テクニックと爆発解析を用いて、変分問題におけるコンパクト性の欠如を克服できるか？
• RQ3 $\u03bb_1, \u03bb_2$ および多様体にどのような条件が、非自明な解の存在を保証するか？
• RQ4 OhtsukaとSuzukiの爆発解析を用いて、集中を排除し、Palais-Smale列の収束を保証できるか？

主な発見

• すべての $(\u03bb_1, \u03bb_2) \in \u03bb$ に対して、$\u03bb = \{ (\u03bb_1, \u03bb_2) \in \mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}_0^+ : \u03bb_1 + \u03bb_2 < \u03bc_1(M)|M| \text{ かつ } \max{\u03bb_1, \u03bb_2\} > 8\pi \}$ において、非自明な解が存在する。
• $I_{\u03bb_1,\u03bb_2}$ のマウンテンパス構造が、すべての $(\u03bb_1, \u03bb_2) \in \u03bb$ に対して確立され、正のエネルギーレベルに臨界点が存在することが保証される。
• 爆発解析により、$u_n$ と $-u_n$ が同時に集中することは排除され、その場合 $\u03bb_1^* + \u03bb_2^* > \u03bc_1(M)|M|$ が生じ、$\u03bb$ の定義に反する。
• 解 $u^*$ がゼロでないことは、下界 $I_{\u03bb_1^*,\u03bb_2^*}(u^*) \geq \frac{\rho_{\bar{\omega}}^2}{4}\left(1 - \frac{\u03bb_1^* + \u03bb_2^*}{\u03bc_1(M)|M|}\right) > 0$ を用いて示され、これは自明解でないことを保証する。
• 証明は、$\u03bc_1(M)|M| \in (8\pi, 16\pi)$ であること、したがって $\u03bb \neq \emptyset$ であること、例えば平坦トーラス $\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$ で成立することに依存している。
• StruweとTarantelloの定理（$\u03bb_2 = 0$ の場合）を、$\max{\u03bb_1, \u03bb_2\} > 8\pi$ の対称的状況に一般化している。