[論文レビュー] Moves on Filtered PL Manifolds and Stratified PL Spaces

Louis Crane, David N. Yetter|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的に平坦な部分多様体によってフィルター化された、もしくは有限な局所モデルを持つ分層PL空間にフィルター化されたPL多様体の三角形分割を関連付ける有限個の組合せ的移動——拡張されたビステラー移動——を導入する。Pachnerのビステラー移動をフィルター化および分層構造に一般化することで、著者らは、このような空間の任意の2つの三角形分割が、これらの移動の有限列によって関連付けられることを確立した。これにより、デフォームを伴うトポロジカル量子場理論（TQFT）の組合せ的基盤が得られる。

ABSTRACT

We extend results of Pachner and Casali to give finite sets of moves relating triangulations of PL manifolds respecting filtrations by locally flat manifolds and stratifications in which a finite family of simple local models exists for neighborhoods of strata.

研究の動機と目的

• Pachnerのビステラー移動を、有限な局所モデルを持つフィルター化PL多様体および分層PL空間に拡張すること。
• デフォームのない場合のビステラー同値性に類似した、このような空間の三角形分割を関連付ける有限で組合せ的に有効な移動の集合を提供すること。
• 有限な組合せ的移動を用いた、デフォームを伴うトポロジカル量子場理論（TQFT）を構築するための枠組みを確立すること。
• 近傍が有限種類の局所モデルをもつ分層構造を含むビステラー同値の概念を一般化すること。
• 強く分層された空間の三角形分割が、有限な局所モデルの制約のもとで、いかなる2つも有限個の移動によって関連付けられることを示すこと。

提案手法

• 局所的に平坦な部分多様体によるフィルター化を伴うPL多様体としてフィルター化多様体を定義し、そのフィルターを尊重する三角形分割を導入する。
• 「強く分層された近傍（stark neighborhood）」の概念を導入する——これは、層の内部の近傍で、反復的コーン構成により標準的な三角形分割をもつものである。
• 拡張ビステラー移動を、$\Sigma^{n-k}(A*\partial B) \to \Sigma^{n-k}(\partial A * B)$ の形の置換として定義する。ここで $A$ は層内の単体、$B$ は交差しない単体である。
• Casaliの境界を保存する移動におけるビステラー同値性の結果を、境界複体が星型分割を保存することを示す重要な補題を用いて、フィルター化および分層的状況に一般化する。
• 反復的スパーンニングと標準的拡張を用いて、層の積近傍を三角形分割し、フィルター構造と整合性を保つ。
• 有限なタイプの局所モデル（例えば、フィルター化多様体や一般位置の埋め込み）を持つ空間では、有限個の移動タイプで十分であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デフォームのない場合のPachnerのビステラー移動に類似して、フィルター化PL多様体のすべての三角形分割を関連付ける有限な組合せ的移動の集合が存在するか？
• RQ2 分層PL空間において、その三角形分割を関連付けるために必要な組合せ的移動のタイプが有限になるための条件は何か？
• RQ3 拡張ビステラー移動を、分層およびフィルター構造を保存しつつ、三角形分割の移行を可能にするようにどのように定義できるか？
• RQ4 層の近傍の局所モデルが、すべての三角形分割にわたって一様かつ有限な移動集合を許容するような状況はどのようなものか？
• RQ5 これらの移動は、3次元多様体内の絡み目やセイフート面を含む、codim 1および2のデフォームを伴うTQFTの構築に適用可能か？

主な発見

• フィルター化PL多様体の任意の2つの三角形分割は、フィルターを保存する有限個の拡張ビステラー移動の列によって関連付けられる。
• 有限なタイプの局所モデル（例：強く分層された近傍）を持つ分層PL空間では、任意の2つの三角形分割を関連付けるために、有限個の組合せ的移動タイプのみが必要である。
• 拡張ビステラー移動は標準的なビステラー移動を一般化し、層に従う三角形分割に適用可能である。これは、フィルター化またはスパーンニングされた近傍において、$A*\partial B$ を $\partial A*B$ に置き換えるものである。
• 3次元球面 $S^3$ 内の絡み目 $K$ とそのセイフート面 $\Sigma$ の場合、5組の逆移動で十分である：3次元ビステラー移動、$\Sigma$ 内のスパーンニングされた2次元移動、および $S^3\setminus\Sigma$ の頂点を含む二重スパーンニングされた1次元移動。
• 完全に正則な埋め込み $f: N_{n-1} \to M_n$ に対して、重複度による分層は有限な局所モデルをもつため、有限個の移動族が十分であることが保証される。
• 反復的コーン構成による層の三角形分割の標準的拡張は、移動定義と整合性を保ち、主要定理の根拠を支える。