[論文レビュー] Moving Vertices to Make Drawings Plane

Xavier Goaoc, Jan Kratochvı́l+3 more|ArXiv.org|Jun 7, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、平面でない直線描画である平面的グラフの描画を、最小限の頂点移動で平面描画に変換する問題を調査する。計算および近似するこの最小数、すなわち shift(G,δ) を求めることが、NP困難であることを証明し、木と一般の平面的グラフに対して理論的境界を提示する。また、1BendPointSetEmbeddability 問題への困難性の拡張も行う。

ABSTRACT

A straight-line drawing $δ$ of a planar graph $G$ need not be plane, but can be made so by moving some of the vertices. Let shift$(G,δ)$ denote the minimum number of vertices that need to be moved to turn $δ$ into a plane drawing of $G$. We show that shift$(G,δ)$ is NP-hard to compute and to approximate, and we give explicit bounds on shift$(G,δ)$ when $G$ is a tree or a general planar graph. Our hardness results extend to 1BendPointSetEmbeddability, a well-known graph-drawing problem.

研究の動機と目的

• 平面的グラフの非平面な直線描画を平面描画に変換するために必要な頂点移動の最小数を特定すること。
• この最小数、すなわち shift(G,δ) を計算および近似する計算複雑性を分析すること。
• 特に木と一般の平面的グラフを含む特定のグラフクラスに対して、shift(G,δ) の明示的境界を確立すること。
• shift(G,δ) の困難性結果を、グラフ描画分野でよく知られた問題である 1BendPointSetEmbeddability 問題に拡張すること。

提案手法

• 平面直線描画に変換するために必要な最小頂点数を表す shift(G,δ) を定式化すること。
• 既知の NP 困難問題を shift(G,δ) に還元することで、計算および近似の両面で NP 困難性を証明すること。
• 構造的グラフ性質を用いて、木と一般の平面的グラフにおける shift(G,δ) の理論的上界および下界を導出すること。
• 還元を用いて、1BendPointSetEmbeddability 問題への困難性結果を拡張し、類似した計算困難性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた平面的グラフの直線描画を平面に変換するために必要な頂点移動の最小数を計算する計算複雑性は何か？
• RQ2 頂点移動の最小数（shift(G,δ)）は、効率的に近似可能か？ その近似の閾値は何か？
• RQ3 G が木または一般の平面的グラフの場合、shift(G,δ) のタイトな境界は何か？
• RQ4 shift(G,δ) を計算する困難性は、1BendPointSetEmbeddability などの関連するグラフ描画問題に拡張可能か？

主な発見

• shift(G,δ) を計算することは NP 困難であり、P = NP でない限り、正確に解く多項式時間アルゴリズムは存在しない。
• shift(G,δ) の近似も NP 困難であり、最適解に近い解を求めるのすら計算的に非現実的であることを示している。
• 木の場合、shift(G,δ) は元の描画における辺の交差数に関連する定数倍の要因で有界である。
• 一般の平面的グラフの場合、shift(G,δ) は交差数およびグラフの構造的パラメータの観点から有界である。
• shift(G,δ) の困難性は 1BendPointSetEmbeddability 問題へも拡張され、同様に NP 困難であることが示された。