[論文レビュー] Moyal's Characteristic Function, the Density Matrix and von Neumann's Idempotent

B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子力学のウィグナー＝モアル位相空間形式におけるモアルの特性関数が、フォン・ノイマンの原始的冪等作用素と数学的に同等であることを示し、ウィグナー準確率分布が古典的統計分布ではなく、量子密度行列の表現であることを明らかにする。この同等性は、ウィグナー＝モアル形式の非古典的・非可換な基礎を裏付け、ウィグナー関数が負の値をとる理由を説明する。

ABSTRACT

In the Wigner-Moyal approach to quantum mechanics, we show that Moyal's starting point, the characteristic function $M(τ,θ)=\int ψ^{*}(x)e^{i(τ{\hat p}+θ{\hat x})}ψ(x)dx$, is essentially the primitive idempotent used by von Neumann in his classic paper "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren". This paper provides the original proof of the Stone-von Neumann equation. Thus the mathematical structure Moyal develops is simply a re-expression of what is at the heart of quantum mechanics and reproduces exactly the results of the quantum formalism. The "distribution function" $F(X,P,t)$ is simply the quantum mechanical density matrix expressed in an $( X,P)$-representation, where $X$ and $P$ are the mean co-ordinates of a cell structure in phase space. The whole approach therefore clearly has little to do with classical statistical theories but is a consequence of a non-commutative nature of the theory.

研究の動機と目的

• ウィグナー＝モアル位相空間形式の基礎となる数学的構造を明確化すること。
• モアルの特性関数の古典的統計的外見とウィグナー関数の本質的な量子力学的起源との間にある顕在的な矛盾を解消すること。
• ウィグナー関数 F(x,p,t) が古典的確率分布ではなく、量子密度演算子の表現であることを確立すること。
• 原始的冪等作用素という同じ根幹の量子構造から生じることを示すことにより、ウィグナー＝モアル形式と密度行列形式を統合すること。
• 特にハイゼンベルク代数とシンプレクティック幾何学に焦点を当て、非可換性に基づく代数的基盤と結びつけることで、位相空間量子力学の非古典的性質を強化すること。

提案手法

• 位置表示における演算子 e^{i(τp̂ + θx̂)} の期待値として、モアルの特性関数 M(τ,θ) を導出する。
• M(τ,θ) = ∫ψ*(x−τ/2)e^{iθx}ψ(x+τ/2)dx の形で表現し、波動関数および非可換位相空間構造に依存することを示す。
• M(τ,θ) の逆フーリエ変換としてウィグナー関数 F(x,p,t) を再構成し、これが密度行列の位相空間表現であることを示す。
• ヒルベルト空間における純粋状態への射影を用いて、フォン・ノイマンの原始的冪等作用素を、モアルの特性関数の背後にある基本的対象として特定する。
• 状態を一つに制限した際の行列要素 ⟨x|N(α,β)|x⟩ が、位相因子を除いてモアルの特性関数を再現することを示す。
• ウィグナー関数 F(x,p,t) が、X と P が位相空間細胞の平均座標である (X,P)-表現における密度行列と同等であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィグナー＝モアル形式におけるモアルの特性関数は、本質的に古典的か、量子的か？
• RQ2 ウィグナー関数 F(x,p,t) は、量子力学的密度演算子 ρ̂ とどのように関係しているか？
• RQ3 フォン・ノイマンのシュレーディンガー表現の一意性に関する基礎的業績から、ウィグナー＝モアルアプローチを導出可能か？
• RQ4 なぜウィグナー関数は負の値をとるのか？これはその解釈にどのような意味を持つのか？
• RQ5 量子力学における位相空間の幾何的・代数的構造は何か？古典的位相空間とはどのように異なるか？

主な発見

• モアルの特性関数 M(τ,θ) は、ストーン＝フォン・ノイマンの定理の証明においてフォン・ノイマンが用いた原始的冪等作用素と数学的に同一である。
• ウィグナー関数 F(x,p,t) は古典的確率分布ではなく、(X,P)-位相空間表現における量子密度行列の表現である。
• ウィグナー関数の負の値は、密度行列形式と整合的であり、量子力学を破るものではなく、密度行列がすべての表現で正定値でなくてもよいことと整合する。
• ウィグナー＝モアル形式の背後にある位相空間構造は本質的に非古典的であり、共役対 (x,p) と (x′,p′) によって定義される細胞的構造を有し、量子力学の非可換性を反映している。
• ウィグナー関数は、特にハイゼンベルク代数から生じる非可換代数的構造に由来し、シンプレクティック幾何学およびグロモフの「圧縮不可能性の定理」と正式に結びついている。
• 基礎となる量子位相空間は、可換する平均位置演算子 X̂ と平均運動量演算子 P̂ の同時固有値から構成されるが、その構築は非可換な x̂ と p̂ に依存しており、形式の非古典的起源を確認する。