[論文レビュー] Muckenhoupt's $(A_p)$ condition and the existence of the optimal martingale measure

Dmitry Kramkov, Kim Weston|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 21, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相対的危険回避度の下界 $a \in (0,1)$ に対し、$p = 1/(1-a)$ における確率的 Muckenhoupt $(A_p)$ 条件を満たす密度を持つマルティングルール測度の存在が、効用最大化における双対最適化子が一様可積分マルティングルールであるための十分かつ鋭い条件であることを確立している。この結果により、不完全市場における価格設定とヘッジの根幹をなす最適マルティングルール測度 $\widehat{\mathbb{Q}}$ の存在が保証される。

ABSTRACT

In the problem of optimal investment with utility function defined on $(0,\infty)$, we formulate sufficient conditions for the dual optimizer to be a uniformly integrable martingale. Our key requirement consists of the existence of a martingale measure whose density process satisfies the probabilistic Muckenhoupt $(A_p)$ condition for the power $p=1/(1-a)$, where $a\in (0,1)$ is a lower bound on the relative risk-aversion of the utility function. We construct a counterexample showing that this $(A_p)$ condition is sharp.

研究の動機と目的

• 効用最大化問題における双対最適化子 $\widehat{Y}$ が一様可積分マルティングルールであるための十分条件を同定すること。
• 連続モデルですら $\widehat{Y}$ がマルティングルールでないことがあるという、数学的ファイナンスにおける長年の問題を解消すること。
• 相対的危険回避度の下界 $a$ を用いて $p = 1/(1-a)$ と定義される Muckenhoupt $(A_p)$ 条件が、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属するように保証するための鋭さを示すこと。
• 連続的な価格過程とパワーユーティリティのもとで、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属するためには $A_p$ 条件を弱くできないことを示す反例を構成すること。

提案手法

• 著者らは、効用関数の相対的危険回避度を下界で制限する $a$ を用い、$p = 1/(1-a)$ における確率的 Muckenhoupt $(A_p)$ 条件を満たす双対上 martingale $Z$ の存在を、中心的な条件として導入する。
• 定理 5.1 で、この $Z$ に対する $A_p$ 条件が、$\widehat{Y}$ が $p' > 1$ に対して $A_{p'}$ を満たすことを示し、これにより $\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属することが保証される。
• 証明は、$A_p$ 条件と BMO マルティングルールとの関係を活用し、調和解析および確率解析の既知の結果を応用している。
• 命題 6.1 で、$A_p$ 条件が満たされない連続的な拡散モデルとパワーユーティリティの下で、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属さない反例を構成し、鋭さを証明している。
• 構成には、2状態のジャンプ過程と特定の確率的指数 $\mathcal{E}(L)$ を用いて双対過程 $\widehat{Y}$ を定義しており、$\mathcal{E}(L)_T$ および $\widehat{Y}_T$ の明示的表現が与えられている。
• 反例により、$\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$ が示され、$\widehat{Y}$ が一様可積分マルティングルールでないことが証明され、$A_p$ 条件の鋭さが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効用最大化問題における双対最適化子 $\widehat{Y}$ が一様可積分マルティングルールであるための条件は何か？
• RQ2 相対的危険回避度の下界 $a$ を用いて $p = 1/(1-a)$ と定義される Muckenhoupt $(A_p)$ 条件が、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属するための必要かつ十分条件であるか？
• RQ3 連続モデルとパワーユーティリティのもとで、$\widehat{Y}$ の一様可積分性を保つために $A_p$ 条件を弱くできるか？
• RQ4 密度が $A_p$ 条件を満たす等価局所マルティングルール測度 $\mathbb{Q}$ の存在は、最適マルティングルール測度 $\widehat{\mathbb{Q}}$ の存在を保証するか？
• RQ5 連続的な価格過程とパワーユーティリティのもとで、$A_p$ 条件が満たされず $\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属さないモデルは存在するか？

主な発見

• 相対的危険回避度の下界 $a$ を用いて $p = 1/(1-a)$ と定義される Muckenhoupt $(A_p)$ 条件を満たす双対上 martingale $Z$ が存在する場合、双対最適化子 $\widehat{Y}$ は一様可積分マルティングルールである。
• この $Z$ に対する $A_p$ 条件は、$\widehat{Y}$ が $p' > 1$ に対して $A_{p'}$ を満たすことを示し、これにより $\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属することが保証される。これは一様可積分性のための必要条件である。
• 本稿では、連続的な株価とパワーユーティリティを想定した反例を構成し、$A_p$ 条件が満たされず、$\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$ となることを示しており、$\widehat{Y}$ が一様可積分マルティングルールでないことを証明している。
• 反例により、$p = 1/(1-a)$ における $A_p$ 条件が、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属するように保証するための鋭さであることが確認された。より弱い条件では、$\widehat{Y}$ がクラス $(\mathbf{D})$ に属さない。
• 双対最小化子 $\widehat{Y}$ は、$Z$（$\mathbb{Q}$ の密度）と、ジャンプ成分を含む特定の確率的指数 $L$ を用いて $\widehat{Y} = \mathcal{E}(L)Z$ として明示的に構成されている。
• 反例において、$\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] \leq 2^{-\delta} < 1$ が成り立つため、$\widehat{Y}$ は一様可積分マルティングルールでないことが示され、$A_p$ 条件の鋭さが裏付けられた。