[論文レビュー] Mukai implies McKay

Tom Bridgeland, Alastair King+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、G が正則形式に自明に作用するとき、Nakamuraの予想である G-Hilbert 展開 Y = Hilb^G M が商多様体 X = M/G のクレパント解消であることを導来圏のアプローチで証明し、Fourier–Mukai 変換を用いて M の G-不変 K-理論と Y の K-理論の間の McKay 対応を確認する。

ABSTRACT

Let G be a finite group of automorphisms of an algebraic manifold M with KM trivial. Suppose that G acts trivially on a global basis s ∈ H 0 (KM), so that the stabiliser group StabG(x) is a subgroup of SL(TxM) for each x ∈ M. Write Y = Hilb G M for the Hilbert scheme of G-clusters in M. We use the ideas of the derived category and Fourier–Mukai transforms to solve two types of problems: (1) Nakamura’s conjecture that Y is a crepant resolution of the quotient variety X = M/G in some interesting cases (in particular, for n = 3); and (2) the conjectured McKay correspondence identifying the equivariant K theory of M and the K theory of Y.

研究の動機と目的

• G が正則形式に自明に作用するとき、G-Hilbert 展開 Y = Hilb^G M が商多様体 X = M/G のクレパント解消であることを証明すること。
• 有限群の作用が正則バンドルをもつ多様体に作用する状況において、M の G-不変 K-理論と Y の K-理論の間の McKay 対応を確立すること。
• 導来圏の技術と Fourier–Mukai 変換を用いて、代数幾何におけるクレパント解消の理解を拡張すること。
• 有限群が Calabi–Yau 多様体に作用する場合の商特異点の解消のためのカテゴリカル枠組みを提供すること。

提案手法

• M と Y の一貫層の導来圏を用いて、商とその解消の幾何を分析する。
• Fourier–Mukai 変換を用いて、M の K-理論と Y の K-理論を関連付ける。
• すべての x ∈ M に対して Stab_G(x) ≤ SL(T_xM) である条件を用いて、解消がクレパントであることを保証する。
• K_M の自明性と H^0(KM) 内の global セクション s の G-不変性を活用して、商が正則特異点をもつことを保証する。
• G-Hilbert 展開 Hilb^G M が M/G のクレパント解消の自然な候補であると分析する。
• Fourier–Mukai 変換によって誘導される導来圏の同値性を活用して、McKay 対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた群作用の条件下で、G-Hilbert 展開 Hilb^G M は商多様体 M/G のクレパント解消であるか？
• RQ2 M の G-不変 K-理論は、McKay 対応によって G-Hilbert 展開 Y の K-理論と対応するか？
• RQ3 導来圏の技術と Fourier–Mukai 変換を用いて、有限群の作用が Calabi–Yau 多様体に作用する場合の McKay 対応を証明できるか？
• RQ4 K_M の自明性と s ∈ H^0(KM) の G-不変性がクレパント解消を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 Stab_G(x) ≤ SL(T_xM) という安定化群の条件が、商とその解消の幾何にどのように影響するか？

主な発見

• G が global 正則形式に自明に作用し、すべての x ∈ M に対して Stab_G(x) ≤ SL(T_xM) であるとき、G-Hilbert 展開 Y = Hilb^G M は X = M/G のクレパント解消である。
• Y の導来圏は M の G-不変導来圏と同値であり、McKay 対応がカテゴリカルに確認された。
• Fourier–Mukai 変換は、M の G-不変 K-理論と Y の K-理論の間に同型を誘導する。
• 特に n = 3 の場合にこの構成が有効であり、この場合に Nakamuraの予想が解決される。
• K_M の自明性と s ∈ H^0(KM) の G-不変性により、商 X = M/G が正則特異点をもつことが保証される。
• 安定化群の条件 Stab_G(x) ≤ SL(T_xM) は、解消がクレパント（正則類を保存）であることを保証するのに十分である。