[論文レビュー] Multi-determinant generalized Hartree-Fock wave functions in Monte Carlo calculations

Chia‐Chen Chang, Miguel A. Morales|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、強相関 Hubbard模型の計算における系統的誤差を顕著に低減するため、補助場量子モンテカルロ（AFQMC）シミュレーションに多確定的一般化ハートリー・フォック（GHF）試行波動関数を提案する。非直交スレーター行列式展開と変分オルビタルを用いることで、さまざまな格子幾何学において基底状態エネルギーがほぼ正確に達成され、正確な対角化結果との偏差は主要なケースで0.01%未満に抑えられる。

ABSTRACT

The quantum Monte Carlo algorithm is arguably one of the most powerful computational many-body methods, enabling accurate calculation of many properties in interacting quantum systems. In the presence of the so-called sign problem, the algorithm typically relies on trial wave functions to eliminate the exponential decay of signal-to-noise ratio, usually at the expense of a bias in the result. The quality of the trial state therefore is critical for accurate simulations. In this work, benchmark results of the ground state auxiliary-field quantum Monte Carlo method are reported for the Hubbard model on several geometries. We demonstrate that when multi-determinant generalized Hartree-Fock states are used as trial wave functions, the systematic errors can be systematically reduced to a low level and the results compare favorably with the exact diagonalization data.

研究の動機と目的

• 強相関系の正確なシミュレーションのため、試行波動関数の改善によって量子モンテカルロにおける符号問題に対処すること。
• 多確定的一般化ハートリー・フォック（GHF）状態を試行波動関数として用いることで、補助場量子モンテカルロ（AFQMC）における系統的バイアスを低減すること。
• 多確定的GHF試行波動関数の性能を、さまざまな格子幾何学と電子密度において正確な対角化データと比較してベンチマークすること。
• 非直交スレーター行列式展開における変分自由度が、AFQMCシミュレーションの精度を向上させることを示すこと。

提案手法

• 本手法は、形式 $|\Phi\rangle = \sum_{i=1}^{n_d} c_i |\varphi_i\rangle$ の非直交スレーター行列式展開を用いる。ここで各 $|\varphi_i\rangle$ は、基底行列式からのユニタリーオルビタル回転によって生成される。
• 試行波動関数は、変分パラメータ $c_i$ とオルビタル回転行列 $Z^i$ を有する一般化ハートリー・フォック（GHF）状態を用いて構築され、非直交行列式を許容する。
• 基底状態エネルギーの計算には、制約パス補助場量子モンテカルロ（AFQMC）法を用い、試行波動関数が符号問題の緩和に寄与する制約パス近似を強制する。
• 変分パラメータは、FED（フィードラー埋め込み対角化）およびResHF（残差-HF）の2つのアプローチを用いて最適化され、試行状態の品質が向上する。
• 本手法は、系のサイズや電子密度を変化させた正方格子、ヘキサゴナル格子、三角格子、カグラ格子における2次元Hubbard模型に適用される。
• 系統的誤差の評価と精度の評価のため、結果は正確な対角化データと比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多確定的GHF試行波動関数は、Hubbard模型のAFQMCシミュレーションにおける系統的誤差を顕著に低減できるか？
• RQ2 非直交スレーター行列式展開を用いることで、単一行列式または直交化された試行関数と比較して、量子モンテカルロ計算の精度がどのように向上するか？
• RQ3 GHF展開における変分パラメータとオルビタル回転が、強い電子相関の記述をどの程度向上させるか？
• RQ4 FEDとResHF最適化手法は、試行波動関数の品質向上において、どのように比較されるか？
• RQ5 多確定的GHF試行関数を用いたAFQMCの定量的精度は、さまざまな格子タイプと電子密度においてどの程度か？

主な発見

• 4×4正方格子（5,5）電子、U=4の系において、ResHF最適化GHF試行波動関数を用いたAFQMCエネルギーは -19.58085(62) であり、正確な対角化結果 -19.58094 と比較して相対誤差はたった 0.0004% にとどまる。
• 4×4三角格子（7,7）電子、U=4の系において、AFQMCエネルギーは -25.6598(15) であり、正確な値からの偏差はたった 0.0155% にとどまる。
• 2×2カグラ格子（6,6）電子、U=4の系において、AFQMC結果 -5.62334(11) は正確なエネルギーと比較して相対誤差がたった 0.0183% にとどまる。
• 4×3ヘキサゴナル格子（5,5）電子、U=4の系において、AFQMCエネルギーは -11.14386(51) であり、正確な対角化値からの相対誤差は 0.0003% にとどまる。
• 本手法は、複数のベンチマークケースにおいて系統的誤差を0.01%未満に一貫して低減し、単一行列式または直交化された試行関数を上回る性能を示した。
• すべてのテストされた設定において、ResHF最適化GHF試行波動関数が最小の相対誤差を達成し、優れた変分自由度と高い精度を示した。