[論文レビュー] Multi-Dimensional Backward Stochastic Differential Equations of Diagonally Quadratic generators

Ying Hu, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、各方程式の二次的成分がZ変数の対応する行にのみ依存する対角的二次的生成関数を持つ多変数後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）について、局所的および大域的解の存在および一意性を確立する。ジョン＝ニレングラフおよび逆ホルダー不等式を用いて、BMO martingale に対する不等式を適用することで、適切なリプシッツおよび成長条件の下で、局所的および大域的解が有界であることを証明している。特に α=0 の場合に顕著である。

ABSTRACT

The paper is concerned with adapted solution of a multi-dimensional BSDE with a "diagonally" quadratic generator, the quadratic part of whose $i$th component only depends on the $i$th row of the second unknown variable. Local and global solutions are given. In our proofs, it is natural and crucial to apply both John-Nirenberg and reverse Hölder inequalities for BMO martingales.

研究の動機と目的

• 文献において一般の局所的または大域的可解性結果が得られていなかった多変数後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に二次的生成関数を適用するという長年の課題に取り組むこと。
• 二次的項が、その指数時間積分が有限の期待値を持たない可能性がある未定義な過程を生じるおそれがあるという困難を克服すること。
• 各成分の二次的部分がZ変数の自身の行にのみ依存する「対角的二次的」構造の下で、適応解の存在および一意性を確立すること。
• スカラーおよび小終値を持つ二次的BSDEに関する先行研究を、一般の有界終値条件をもつ多変数ケースに拡張すること。
• BMO martingale理論と重要な不等式を用いて、解の有界性および可積分性を保証する厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、各成分 g^i がZ変数のi番目の行 z^i のみに依存し、|z^i|^2 および |z|^{1+α}（α ∈ [0,1)）を含む成長条件を満たす、構造化された生成関数 g を定義する。
• BMO martingale に対するジョン＝ニレングラフ不等式および逆ホルダー不等式を適用し、Z過程の二次変動および指数モーメントを制御することで、可積分性および有界性を保証する。
• 局所的解のためには、時間区間 [T−ε,T] における固定点法を用い、Y過程に関する事前推定およびZ·WのBMOノルムに基づく。
• 大域的解のためには、段階的拡張法を用いる：[T−η,T] で解の存在を証明した後、繰り返し局所的可解性結果を適用して、有限回のステップで時間軸を後退的に拡張する。
• Y過程に関する一様事前推定を導出し、それが終値条件および生成関数の成長パラメータに依存する定数で有界であることを示す。
• 一意性は、2つの解の差のBMOノルムにおける収縮法により証明され、時間区間の小ささおよび生成関数のリプシッツ成分の有界性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数がZ変数に関して二次的成長を示すが、対角的構造（各成分が自身のZの行にのみ依存）を持つ多変数BSDEは、Z変数の二次的成長を有する場合に、局所的解をもつだろうか？
• RQ2 例えば Frei と dos Reis の先行研究において示された大域的可解性の欠如が、構造化された対角的二次的生成関数のもとでも継続的に成立するだろうか？
• RQ3 BMO martingale理論、特にジョン＝ニレングラフおよび逆ホルダー不等式は、多変数設定におけるZ過程の二次変動を効果的に制御するために用いられるだろうか？
• RQ4 生成関数の非二次的部が大域的リプシッツ（α=0）である場合でさえ、一般の有界終値条件のもとで、このようなBSDEに大域的解が存在するだろうか？
• RQ5 局所的解の繰り返し適用によって、解を時間的に大域的に拡張できるだろうか？ その拡張が有限であるための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の ε>0 に対して、時間区間 [T−ε,T] における一意な局所的解 (Y,Z) の存在を証明しており、Yは有界で、Z·W はBMO martingale である。これは、対角的二次的構造および局所的リプシッツ条件のもとで成立する。
• α=0 の場合、本稿は時間区間 [0,T] における一意な大域的解 (Y,Z) の存在を確立しており、Yは一様有界で、Z·W はBMO₂(P) に属する。
• Y過程の有界性は一様的であり、終値条件 ξ の essentially sup ノルムおよび生成関数の定数にのみ依存し、時間区間 T には依存しない。
• Z·W のBMOノルムは、Yの初期有界性、生成関数のリプシッツ定数、および時間区間 T を含む式によって有界である。
• 一意性は、BMOノルムにおける収縮法により証明され、時間区間が十分に小さい場合に有効であり、区間 [0,T] 全体に段階的に拡張可能である。
• 本研究は、構造化された対角的二次的生成関数のもとで、多変数二次的BSDEの大域的可解性に関する未解決問題を解決し、スカラーおよび小終値条件のケースに関する先行結果を拡張した。