[論文レビュー] Multi-dimensional scalar conservation laws with unbounded integrable initial data

Denis Serre|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、発散型正定値対称テンソルに補間的可積分性を新しく応用することで、有界でない可積分な初期データをもつ多変数スカラー保存則のエントロピー解の存在および一意性を確立する。主な結果は、スケーリングおよび線形変換に関する最適化を用いて証明された準線形系におけるストリカールツ型不等式であり、初期データが有界ではない場合でも解の減衰性および可積分性を保証し、クルジフホフ理論を $ L^\infty $ の枠を超えて拡張する。

ABSTRACT

We discuss the minimal integrability needed for the initial data, in order that the Cauchy problem for a multi-dimensional conservation law admit an entropy solution. In particular we allow unbounded initial data. We investigate also the decay of the solution as time increases, in relation with the nonlinearity. The main ingredient is our recent theory of divergence-free positive symmetric tensor. We apply in particular the so-called compensated integrability to a tensor which generalizes the one that L. Tartar used in one space dimension. It allows us to establish a Strichartz-like inequality, in a quasilinear context. This program is carried out in details for a multi-dimensional version of the Burgers equation.

研究の動機と目的

• 多変数スカラー保存則におけるエントロピー解の存在を保証する初期データの最小可積分条件を特定すること。
• 初期データが $ L^\infty $ を要件としている古典的クルジフホフ理論を、有界でないが可積分な初期データ $ L^1 $ の場合にまで拡張すること。
• 時間の経過に伴う解の減衰見積もりを、特にフラックス関数の非線形性と関連づけて確立すること。
• エントロピー・エントロピー・フラックス対から導かれる発散なし対称テンソルに補間的可積分性を適用した一般枠組みを構築すること。
• 準線形設定においてストリカールツ型不等式を確立し、解の正則性および減衰性を制御すること。

提案手法

• 著者らは、フラックス関数およびエントロピー関数から構成される対称テンソル $ M(a) \in \mathbf{Sym}_d $ を導入し、タルタールの1次元的構成を一般化する。
• このテンソルに補間的可積分性理論を適用し、解のヘッセ型量 $ \Delta(u) $ に対するストリカールツ型不等式を導出する。
• スケーリングの議論を用いて、変換変数 $ v(t,y) = \frac{1}{\lambda} u(\lambda t, Py) $ を導入することで、得られた見積もりを最適化する。ここで $ P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) $ である。
• すべての正則行列 $ P $ に対して $ (\det P)^{1/n} \int \psi_P(u_0) \, dy $ を最小化する手続きを経て、$ \Delta(u) $ の全 Variation に対する精密見積もりを得る。
• 保存則のキネティック形式を用いて、エントロピー散逸測度 $ \mu $ を初期データと関連づけ、$ \|\mu\| \leq \int \phi(u_0) \, dy $ を得る。
• 時間積分された $ L^1 $ ノルム $ u $ および $ \Delta(u) $ の全 Variation に対して、グロワール型の議論を適用し、減衰見積もりを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数スカラー保存則において、初期データ $ u_0 \in L^1(\mathbb{R}^n) $ の中で、エントロピー解の存在を保証する最も弱い可積分条件は何か？
• RQ2 古典的 $ L^\infty $ フレームワークのクルジフホフ理論は、有界でない $ L^1 $ 初期データに対しても、一意性および安定性を保ちながら拡張可能か？
• RQ3 フラックス関数の非線形性は、時間の経過に伴う解の減衰速度にどのように影響するか？
• RQ4 エントロピー対から得られる対称テンソルに補間的可積分性を適用することで、準線形設定においてストリカールツ型不等式を確立可能か？
• RQ5 解の可積分性および減衰制御を最大化する最適なスケーリングおよび変数変換は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の初期データ $ u_0 \in L^1(\mathbb{R}^n) $、たとえ有界でない場合であっても、$ L^\infty(\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^n) \cap C(\mathbb{R}_+; L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)) $ 内に一意なエントロピー解が存在することを証明する。
• ストリカールツ型不等式が確立される：$ \int_0^\infty \int_{\mathbb{R}^n} \Delta(u) \, dy \, dt \leq c_d \left( \|u_0\|_1 + \|\phi(u_0)\|_1 \right)^{1 + \frac{1}{n}} $、ここで $ \Delta(u) $ はエントロピー散逸に関連するヘッセ型量である。
• ヘッセ型項の全 Variation は、$ \int_0^\infty \int_{\mathbb{R}^n} \Delta(u) \, dy \, dt \leq c_d (\det P)^{1/n} \left( \int u_0 \, dy \right)^{1/n} \int \psi_P(u_0) \, dy $ を満たし、$ P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) $ について最適化される。
• グロワールの議論により解の減衰が定量的に評価され、$ \int_\tau^\infty X(t) \, dt \leq c_d \left( \int u_0 \, dy \right)^{1/n} I[u(\tau)] $ が成り立つ。ここで $ X(t) = \int \Delta(u(t,y)) \, dy $ である。
• 解の減衰を制御するための主要な汎関数として、$ I[w] = \inf_P (\det P)^{1/n} \int \psi_P(w) \, dy $ が導入され、その計算はフラックス構造に依存する。
• 本手法は、多変数バーガース方程式に対しても成功裏に適用可能であり、有界でない初期データを伴う高次元への補間的可積分性フレームワークの一般化に成功している。