[論文レビュー] Multi-dimensional Sublinear Sparse Fourier Algorithm

Bosu Choi, Andrew Christlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分的アンラップとチルト技術を用いて、高次元信号のスパースフーリエ変換を効率的に計算する多次元の非線形スパースフーリエアルゴリズムを提示する。完全な信号の一次元化を回避することで、実行時間とサンプリングの複雑さが非線形となる。従来の一次元スパースフーリエ変換の結果を高次元に拡張し、スケーラビリティを向上させた。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the development of a sublinear sparse Fourier algorithm for high-dimensional data. In Adaptive Sublinear Time Fourier Algorithm by D. Lawlor, Y. Wang and A. Christlieb (2013), an efficient algorithm with empirically $O(k\log k)$ runtime and $O(k)$ sampling complexity for the one-dimensional sparse FFT was developed for signals of bandwidth $N$, where $k$ is the number of significant modes such that $k\ll N$. In this work we develop an efficient algorithm for sparse FFT for higher dimensional signals, extending some of the ideas in the paper mentioned above. Note a higher dimensional signal can always be unwrapped into a one dimensional signal, but when the dimension gets large, a higher dimensional signal into a one dimensional array is far too expensive to be realistic. Our approach here introduces two new concepts; partial unwrapping and tilting. These two ideas allow us to efficiently compute the sparse FFT of higher dimensional signals.

研究の動機と目的

• 高次元信号における完全な一次元アンラップの計算不能性に対処する。
• 一次元非線形スパースフーリエ変換アルゴリズムを高次元に拡張しつつ、効率性を維持する。
• k ≪ N である高次元スパース信号において、サンプリングおよび実行時間の複雑さを低減する。
• 完全な次元拡張の指数的コストを回避するスケーラブルな手法を開発する。

提案手法

• 完全に一次元化しないで高次元信号を処理するための部分的アンラップを導入する。
• 高次元における効率的なスパースフーリエ変換計算のため、周波数成分の再方向化にチルト技術を適用する。
• 一次元の適応的非線形スパースフーリエ変換アルゴリズムの核心的原則を多次元設定に適応する。
• 高次元においても O(k) のサンプリング複雑さを維持する構造化されたサンプリング戦略を用いる。
• 周波数ドメインのスパarsityを活用して、顕著なモード数 k に対して非線形実行時間を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な次元拡張なしに、一次元非線形スパースフーリエ変換を多次元信号に拡張する方法は何か？
• RQ2 高次元スパースフーリエ変換において、効率的なサンプリングと計算を可能にする技術は何か？
• RQ3 部分的アンラップとチルトは、多次元信号処理における計算コストを低減しつつ、正確性を維持できるか？
• RQ4 スパarsity制約下での多次元スパースフーリエ変換における達成可能なサンプリングおよび実行時間の複雑さは何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、高次元スパース信号に対して非線形実行時間と O(k) のサンプリング複雑さを達成し、一次元の結果を拡張した。
• 部分的アンラップにより、完全な一次元変換の高価なコストを回避して高次元信号の効率的処理が可能になった。
• チルトにより、多次元フーリエ空間における周波数成分の局所化が効果的に行われ、計算効率が向上した。
• 完全な信号の一次元化を回避することで、大規模な次元に対してもスケーラビリティを維持した。