[論文レビュー] Multi-directional unitarity and maximal entanglement in spatially symmetric quantum states

Márton Mestyán, Balázs Pozsgay+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Cellular Automata and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間的対称性を持つ量子系において、多方向へのユニタリ演算子と多方向への最大もつれ状態を導入し、二重ユニタリ状態および絶対的にもつれた（AME）状態を一般化する。正方形、六角形、立方体、正八面体の幾何構造に対して、局所次元が3までの明示的例を構築し、これらの状態がすべて反射対称性を保つ二部分割において最大もつれを示し、複数の時間方向を持つ量子セルオートマトンを構築可能であることを示す。

ABSTRACT

We consider dual unitary operators and their multi-leg generalizations that have appeared at various places in the literature. These objects can be related to multi-party quantum states with special entanglement patterns: the sites are arranged in a spatially symmetric pattern and the states have maximal entanglement for all bipartitions that follow from the reflection symmetries of the given geometry. We consider those cases where the state itself is invariant with respect to the geometrical symmetry group. The simplest examples are those dual unitary operators which are also self dual and reflection invariant, but we also consider the generalizations in the hexagonal, cubic, and octahedral geometries. We provide a number of constructions and concrete examples for these objects for various local dimensions. All of our examples can be used to build quantum cellular automata in 1+1 or 2+1 dimensions, with multiple equivalent choices for the ``direction of time''.

研究の動機と目的

• 空間的対称性を持つ量子系における二重ユニタリ状態および絶対的にもつれた（AME）状態を、多方向へのユニタリ演算子へ一般化すること。
• 系の幾何的対称性群に適合するすべての二部分割において最大もつれを示す量子状態の特定および構築すること。
• 標準的な正方形格子を超えた非自明な幾何構造（六角形、立方体、正八面体）におけるこのような演算子の明示的例を提供すること。
• これらの状態が、1+1次元および2+1次元において複数の等価な時間方向を持つ量子セルオートマトンを構築できるかどうかを示すこと。
• 多方向ユニタリ性ともつれの枠組みにおいて、量子情報、多体物理学、作用素代数のそれぞれの分野から離れた概念を統合すること。

提案手法

• 多方向ユニタリ性を、空間的および時間的複数方向におけるユニタリ性として定義し、二重ユニタリ性をより高い対称性へ一般化する。
• ダイヘドラル、立方体、正八面体などの幾何的対称性群を用いて、多粒子量子状態における許容されるもつれパターンを制約する。
• 対称性群による軌道分解を用いて状態を構築し、異なる軌道をグループ化・正規化して対称な重ね合わせを形成する。
• 同一でない軌道のみをリストするコンact表記を用い、対称性に起因する重ね合わせを用いて全量子状態に展開する。
• すべての対称的二部分割における縮約密度行列が最大に混合していることを確認することで、ユニタリ性および最大もつれを検証する。
• 演算子-状態双対性を活用し、これらの状態を量子回路およびセルオートマトンに適した量子ゲートに写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重ユニタリ状態およびAME状態を、高次元および正方形でない幾何構造へ一般化し、対称性を保つ二部分割においても最大もつれを維持できるか。
• RQ2 局所次元が2および3である六角形、立方体、正八面体格子における多方向ユニタリ演算子の明示的構成は何か。
• RQ3 どの対称性群が、幾何的に不変であり、かつすべての反射対称性を伴う二部分割において最大もつれを示す状態の存在を許容するか。
• RQ4 このような状態を用いて、1+1次元および2+1次元において複数の等価な時間方向を持つ量子セルオートマトンを定義できるか。
• RQ5 多方向ユニタリ性の制約は、直交配列や完全テンソルといった組合せデザインとどのように関係するか。

主な発見

• 本稿では、六角形、立方体、正八面体の幾何構造における多方向ユニタリ演算子の明示的例を構築し、局所次元3の状態を含む。
• 六角形幾何構造において、7.5節の解No.10は、3つの同一でない軌道と3つの同一の軌道を持ち、$1/(3\theta{3})$で正規化される。
• $N=2$の立方体幾何構造において、解[1112 2221]は、同一でない軌道に8つの項を含み、さらに4つの同一型の軌道が追加される。
• 正八面体幾何構造の例（7.7節のNo.6）には、3つの同一でない軌道と3つの同一の軌道が含まれ、同一でない部分に合計18項が存在する。
• 正八面体幾何構造の状態は六角形の制約を満たし、より弱い対称性下では軌道[123 123]が[123 123]と[132 132]に分裂するため、対称性レベル間での一貫性が確認される。
• 構築されたすべての状態は、全幾何的対称性群に対して不変であり、反射対称性を伴うすべての二部分割において最大もつれを示す。