[論文レビュー] Multi-gap topological conversion of Euler class via band-node braiding: minimal models, $PT$-linked nodal rings, and chiral heirs

Adrien Bouhon, Robert-Jan Slager|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2022

Mechanical and Optical Resonators被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$C_{2}T$ もしくは $PT$ 対称性下でのバンドノードのブレード構造を用いて、$ζ$-値をとるオイラー類によって特徴づけられる多ギャップトポロジカル相の最小ラティスモデルを構築する普遍的なフレームワークを提示する。遷移が隣接するノードリングと準ギャップノードラインによって媒介され、安定性がオイラー類モノポール電荷によって支配されることを示し、これらの対称性を破ることでオイラー相がチャーン数が量子化されたキラルチャーン相に転移することを示している。

ABSTRACT

The past few years have seen rapid progress in characterizing topological band structures using symmetry eigenvalue indicated methods. Recently, however, there has been increasing theoretical and experimental interest in multi-gap dependent topological phases that cannot be captured by this paradigm. These topologies arise by braiding band degeneracies that reside between different bands and carry non-Abelian charges due to the presence of either $C_2T$ or $PT$ symmetry, culminating in different invariants such as $\mathbb{Z}$-valued Euler class. Here, we present a universal formulation for Euler phases motivated by their homotopy classification that is related to the Skyrmion-profile of a single unit-vector in three-level systems, and that of two unit-vectors in four-level systems. In addition, upon employing the strategy of systematically building 3D models from a pair of sub-dimensional Euler phases, we show that phase transitions between any two inequivalent Euler phases are mediated by the presence of adjacent (in-gap) nodal rings linked with sub-gap nodal lines, forming trajectories corresponding to the braiding or debraiding of nodal points. The stability of the linked adjacent nodal rings is furthermore demonstrated to be indicated by an Euler class monopole charge matching with its $\mathbb{Z}$-valued linking numbers. We finally also systematically address the conversion of Euler phases into descendant Chern phases upon breaking the $C_2T$ or $PT$ symmetry. All the topological phases discussed in this work are corroborated with explicit minimal lattice models. These models can themselves directly serve as an extra impetus for experimental searches or be employed for theoretical studies, thereby underpinning the upcoming of this nascent pursuit.

研究の動機と目的

• ホモトピー分類を用いて3次元系におけるオイラートポロジカル相を体系的かつ普遍的に定式化すること。
• 非自明なオイラー不変量を実現し、多ギャップトポロジーを支持する明示的な最小ラティスモデルの構築。
• $PT$ 対称性を持つノード構造とバンドノードブレードが、異なるオイラー相の間の相転移をどのように媒介するかを明らかにすること。
• モノポール電荷マッチングを通じて、オイラー類と隣接するノードリングのリンク数の直接的な関係を確立すること。
• $C_{2}T$ もしくは $PT$ 対称性を破った際のキラルな子孫相の出現を調査し、それらのチャーン数を定量すること。

提案手法

• 3次元および4レベル系における単位ベクトル場のホモトピー分類を用いて、オイラー類不変量を定義する。
• 3次元モデルを、部分次元のオイラー相から構築する戦略を採用し、完全な3次元トポロジカル不変量を実現する。
• 調整可能なパラメータを有する明示的な最小タイトバインディングラティスモデルを構築し、所望のオイラー類およびノード構造を実現する。
• $C_{2}T$ や $PT$ を破る対称性破壊項を導入し、オイラー相をチャーン相に転移させ、ベリー位相フロー解析によって検証する。
• モノポール電荷マッチングを用いてノードリングの安定性を分析し、$ζ$-値をとるリンク数と一致させる。
• 各バンドごとのベリー位相フローの数値的および解析的計算を用いて、子孫相におけるチャーン数の量子化を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元系において非自明なオイラー類不変量を実現する最小ラティスモデルを体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 バンドノードブレードは、非同値なオイラー相の間の相転移をどのように媒介するか？
• RQ3 $PT$ 対称性を持つノードリングと準ギャップノードラインは、オイラー相間の相転移経路においてどのように関係するか？
• RQ4 隣接するノードリングのトポロジカル安定性機構は何か？ そしてそれはモノポール電荷とどのように関連するか？
• RQ5 オイラー相は、$C_{2}T$ もしくは $PT$ 対称性を破った際にどのようにキラルチャーン相に進化するか？ そしてその際のチャーン数の量子化はどのように生じるか？

主な発見

• すべての非同値な2次元オイラー相が、補間パラメータを追加次元とみなした場合、3次元において$PT$ 対称性を持つノード構造として実現される。
• 異なるオイラー相間の相転移は、準ギャップノードラインによって接続された隣接するノードリングによって媒介され、ブレードまたはデブレードの軌道を形成する。
• これらの隣接ノードリングの安定性は、$ζ$-値をとるオイラー類とリンク数に一致するモノポール電荷によってトポロジカルに保護される。
• 最小モデルにおける$C_{2}T$ や$PT$ 対称性の破壊により、$|c_{1, u}| = |χ_{ u}|$ を満たすキラルチャーン相が生成され、それぞれの2バンド部分空間$\nu = I, II$ に対して成立する。
• バランスの取れたオイラー相$[\chi_I, \chi_{II}]$ では、対応するチャーンバンドにおいて$|c_{1, u}| = |\chi_{ u}|$ が成立する。非バランスな相では、$|c_{1, u}| \in \{|\chi_I|, |\chi_{II}|\}$ となる。
• 2つの$[1,1]$四バンドオイラー相を埋め込むことで得られるキラル相では、両部分空間$\nu = I, II$ に対して$c_{1, u} = \pm 1$ が成立し、$k_z = \pi$ でのトレヴィアル相に接続するための2つの中間的ウェイル点が必要となる。