[論文レビュー] Multi-graviton theory in vierbein formalism

Teruki Hanada, Kazuhiko Shinoda+1 more|ArXiv.org|Jan 17, 2008

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のグラフ上でビアーベイン形式を用いて非線形な多重重力理論を定式化し、線形なFierz-Pauli重力理論を、質量あり・質量なしのスピン2、ベクトル、スカラーモードへと拡張する。木構造のグラフ上での宇宙論的解を導出し、固有モード依存のスケーリングを持つ同期化された膨張宇宙解を示し、弱い場の極限でFierz-Pauli質量項に還元される、反射および交換対称性を持つビアーベイン差分項を用いて非線形作用を確立する。

ABSTRACT

Recently, multi-graviton theory on a simple closed circuit graph corresponding to the $S^1$ compactification of the Kaluza-Klein (KK) theory has been considered. In the present paper, we extend this theory to that on a general graph and study what modes of particles are included. Furthermore, we generalize it in a possible non-linear theory based on the vierbein formalism and study cosmological solutions.

研究の動機と目的

• 一般のグラフへの$S^1$コンパクト化を超えた、線形多重重力理論の一般化。
• 一貫した重力結合を実現するため、ビアーベイン形式を用いたFierz-Pauli理論の非線形拡張の構築。
• サイクルおよびパスグラフなどの異なるグラフトポロジーにおける物理的粒子状態（スピン2、ベクトル、スカラー）の同定。
• 特に木構造のグラフ上での非線形モデルにおける宇宙論的解の導出と、その構造および安定性の探求。
• 将来の物質結合、SUSY拡張、高階微分項の多重量子系への応用の基盤を構築すること。

提案手法

• インシデント行列およびグラフラプラシアン行列を用いて、頂点および辺に定義された場を用いて、一般のグラフ上でのFierz-Pauliラグランジアンを定式化。
• ゲージ不変性を維持し、質量生成を確実にするために、スティューケルベルク場（ベクトル$A^e_\mu$およびスカラー$\phi^v$）を導入。
• アービトリアスなテンソルの縮約$\langle ABCD \rangle$を用いて、アインシュタイン＝ヒルベルト項および宇宙論的項を表現する非線形作用を構築。
• 各辺において、反射および交換対称性を保つ非線形質量項を$\langle (e_1 e_1 - e_2 e_2)^2 \rangle$として定義。
• 弱い場の展開を実行し、二次項がFierz-Pauli質量項を再現することを示す。
• スカラー零モード場$\Phi$を含む、アインシュタイン＝ヒルベルト項、質量項、宇宙論的項を組み合わせることで、木構造のグラフ上での非線形宇宙論的作用を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフ上での多重量子理論における物理的モード（スピン2、ベクトル、スカラー）は何か。また、グラフトポロジーにどのように依存するか。
• RQ2 Fierz-Pauli線形理論を、グラフ上でのビアーベイン形式を用いて、一貫した非線形理論へと一般化する方法は何か。
• RQ3 木構造のグラフ上での非線形多重量子モデルの宇宙論的解は何か。また、同期化された膨張を引き起こす条件は何か。
• RQ4 対称なビアーベイン差分項に基づく非線形作用が、正しい線形極限を再現し、一貫性を保つ仕組みは何か。
• RQ5 非線形作用におけるスカラー零モード場$\Phi$の役割は何か。また、宇宙論的力学にどのように影響を与えるか。

主な発見

• サイクルグラフ$C_N$では、物理的スペクトルに$N-1$個の質量ありスピン2粒子、1個の質量なしスピン2、1個の質量なしベクトル、1個の質量なしスカラーが含まれる。質量ありのベクトルおよびスカラーは、質量あり重力子に吸収される。
• パスグラフ$P_N$では、物理的スペクトルに$N-1$個の質量ありスピン2粒子、1個の質量なしスピン2、1個の質量なしスカラーが含まれる。境界条件のため、質量なしベクトルモードは存在しない。
• 木構造のグラフ上での非線形作用は、高階微分項および非局所項を含まず、$L_M = \frac{1}{2}\exp\Phi \sum_v |e^v| R^v + M^2 \sum_e \langle (e_{o(e)}e_{o(e)} - e_{t(e)}e_{t(e)})^2 \rangle$で与えられ、$M^2 = m^2/16$である。
• 同期化された宇宙論的解が得られ、$\alpha_k^2 = \frac{3H^2}{\Lambda} \left(1 + \sqrt{2} \frac{\sqrt{2-a}}{\sqrt{a}} v_k^{(\ell)} \right)$（$4/3 < a < 2$）で与えられる。ここで$\{\lambda_{(\ell)}, v_k^{(\ell)}\}$は、グラフラプラシアンの固有値および固有ベクトル成分である。
• パスグラフでは、$\Lambda_1$および$\Lambda_N$を調整することで、ランダル＝サンダース型の解が現れ、局在化した重力効果を示す。
• 非線形作用の弱い場の極限は、Fierz-Pauli質量項を再現し、線形理論との一貫性を確認する。