[論文レビュー] Multi-index filtrations and motivic Poincare series

Antonio Campillo, F. Delgado+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2004

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複素解析的特異点の局所環における多指数フィルトレーションのPoincaré系列を計算するために、多様体のGrothendieck環における一般化されたオイラー特徴の利用に基づくモチビック積分フレームワークを導入する。平面曲線特異点の各成分における関数の位数によって定義されるフィルトレーションおよび、吹き上げの列から生じる除数的フィルトレーションのモチビックPoincaré系列に対して明示的な公式を提供し、結果を埋め込み解体と変形データの観点から表現する。

ABSTRACT

The Poincare series of a multi-index filtration on the ring of germs of functions can be written as a certain integral with respect to the Euler characteristic over the projectivization of the ring. Here this integral is considered with respect to the generalized Euler characteristic with values in the Grothendieck ring of varieties. For the filtration defined by orders of functions on the components of a plane curve singularity $C$ and for the so called divisorial filtration for a modification of $(\C^2,0)$ by a sequence of blowing-ups there are given formulae for this integral in terms of an embedded resolution of the germ $C$ or in terms of the modification respectively. The generalized Euler characteristic of the extended semigroup corresponding to the divisorial filtration is computed.

研究の動機と目的

• 局所環の複素解析的特異点における多指数フィルトレーションのPoincaré系列を、多様体のGrothendieck環に値をとるモチビック積分を用いて一般化すること。
• 一般化されたオイラー特徴を用いて、関数の射影的環上の単項式関数 $ \underline{t}^{\underline{v}(g)} $ のモチビック積分を計算すること。
• 平面曲線特異点に関連する成分における関数の位数によって定義されるフィルトレーションおよび $ \mathbb{C}^2 $ 上の除数的フィルトレーションのモチビックPoincaré系列に対して明示的な公式を導出すること。
• 除数的フィルトレーションに関連する拡張された半群の一般化されたオイラー特徴を、解体データに基づいて明示的に計算すること。
• 解体データを用いて、Poincaré系列のモチビック版であるA'Campoの公式を確立すること。

提案手法

• 本稿では、$ \mathbb{L} $ をアフィン直線の類とする、局所化されたGrothendieck環 $ K_0(\mathcal{V}_{\mathbb{C}})_{(\mathbb{L})} $ に値をとる一般化されたオイラー特徴 $ \chi_g $ を用いる。
• モチビックPoincaré系列を、古典的Poincaré系列の統合による一般化である積分 $ \int_{\mathbb{P}{\cal O}_{V,0}} \underline{t}^{\underline{v}(g)} \, d\chi_g $ として表現する。
• 平面曲線特異点に対しては、埋め込み解体を用いて積分を計算し、結果を例外的除数とその交差データの観点から表現する。
• 吹き上げの列によって定義される除数的フィルトレーションに対しては、積分を変形データ、特に例外的除数の重複度と双対グラフを用いて表現する。
• 射影的環を多重指数でインデックスづけられたストラトゥムに分解し、各ストラトゥムのモチビック測度を、曲線の対称積と $ \mathbb{C}^* $-バンドルを用いて計算する。
• モチビックゼータ関数の技法を適用し、$ (1 - t)^{-[\mathbb{P}^1]} = \prod (1 - \mathbb{L} t)^{-1} $ のような恒等式を用いて得られた系列を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析的特異点の局所環における多指数フィルトレーションのPoincaré系列を、モチビック積分としてどのように表現できるか？
• RQ2 平面曲線特異点の成分における関数の位数によって定義されるフィルトレーションの明示的公式は何か？
• RQ3 $ \mathbb{C}^2 $ 内の吹き上げの列から生じる除数的フィルトレーションに対して、単項式関数 $ \underline{t}^{\underline{v}(g)} $ のモチビック積分はどのように振る舞うか？
• RQ4 除数的フィルトレーションに関連する拡張された半群の一般化されたオイラー特徴を、解体データに基づいて明示的に計算できるか？
• RQ5 解体不変量を用いて、Poincaré系列のモチビック類似形は何か？

主な発見

• 平面曲線特異点の成分における関数の位数によって定義されるフィルトレーションのモチビックPoincaré系列は、$ \frac{\prod_{\sigma \in I_0} (1 - \underline{t}^{\underline{m}_{i(\sigma)}} - \underline{t}^{\underline{m}_{j(\sigma)}} + \mathbb{L} \underline{t}^{\underline{m}_{i(\sigma)} + \underline{m}_{j(\sigma)}})}{\prod_{i=1}^s (1 - \underline{t}^{\underline{m}_i})(1 - \mathbb{L} \underline{t}^{\underline{m}_i})} $ で与えられ、ここで $ \underline{m}_i $ は例外的除数の重複度である。
• 吹き上げの列によって定義される除数的フィルトレーションに対しては、モチビック積分が例外的除数の双対グラフと重複度を用いて表現され、解体データに基づく閉形式の公式が得られる。
• 除数的フィルトレーションに関連する拡張された半群の一般化されたオイラー特徴は、同じ解体データとモチビック積分技法を用いて明示的に計算されている。
• モチビック積分表現により、平面曲線フィルトレーションのPoincaré系列が関連する代数的リンクのアレクサンダー多項式に等しいという古典的結果の短い証明が可能である。
• 本手法は、射影的関数環上の $ \chi_g $ による統合を用いることで、多指数フィルトレーションのモチビック不変量を統一的に計算するフレームワークを提供する。
• 本稿では、A'Campoの公式のモチビック版を確立し、フィルトレーションのヒルベルト関数の母関数が $ \underline{t} $ と $ \mathbb{L}^{-1} $ の有理関数であることを示し、極が解体データによって決定されることを示している。