[論文レビュー] Multi-level Dynamical Systems: Connecting the Ruelle Response Theory and the Mori-Zwanzig Approach

Jeroen Wouters, Valerio Lucarini|Aug 15, 2012

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、弱く結合された多レベル力学系におけるルイユ応答理論とモーリー＝ツワンジグ形式の間の厳密な関係を確立し、ルイユの摂動法によって得られる代替ダイナミクスが、結合強度の2次までの精度でモーリー＝ツワンジグ形式の射影ダイナミクスと一致することを示している。主な貢献は、パrametrizationでしばしば無視されがちな記憶効果と確率的駆動項が、遅い変数の短期的ダイナミクスと長期的統計的性質を同時に捉えるために不可欠であることを示したことにある。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of deriving approximate autonomous dynamics for a number of variables of a dynamical system, which are weakly coupled to the remaining variables. In a previous paper we have used the Ruelle response theory on such a weakly coupled system to construct a surrogate dynamics, such that the expectation value of any observable agrees, up to second order in the coupling strength, to its expectation evaluated on the full dynamics. We show here that such surrogate dynamics agree up to second order to an expansion of the Mori-Zwanzig projected dynamics. This implies that the parametrizations of unresolved processes suited for prediction and for the representation of long term statistical properties are closely related, if one takes into account, in addition to the widely adopted stochastic forcing, the often neglected memory effects.

研究の動機と目的

• 弱く結合された多レベル力学系におけるルイユ応答理論とモーリー＝ツワンジグ射影形式の理論的リンクを確立すること。
• 遅い変数に対してルイユの応答理論を用いて導かれた代替ダイナミクスが、正確なモーリー＝ツワンジグ形式の射影ダイナミクスと等価であるかどうかを調査すること。
• 記憶効果と確率的駆動項が、完全系と低次元化系の間の統計的整合性を保証する役割を評価すること。
• 代替ダイナミクスと完全系との統計的整合性を検証することで、気候モデルにおけるフラクチュエーション・ドレスタン理論の適用を支援すること。
• 気象モデルと気候モデルの両方のパラメータ化を統合することで、地球流体力学におけるスムーズな予測を促進すること。

提案手法

• 弱く結合された系（遅い変数 X と速い変数 Y を含む）において、ルイユの応答理論を適用し、観測量の期待値に対する2次補正を計算する。
• 決定論的補正項、乗法的ノイズ、および記憶積分項を含む X 変数の代替ダイナミクスを導出する。
• 結合強度の2次までの摂動論を用いて、得られた代替ダイナミクスと正確なモーリー＝ツワンジグ形式の射影ダイナミクスを比較する。
• フラクチュエーション・ドレスタン定理（FDT）を用い、代替系における応答と揺らぎの関係を記述し、その不変測度の絶対連続性を活用する。
• 直接代数的計算を用いて、結合強度の2次までの精度で、ルイユに基づくダイナミクスとモーリー＝ツワンジグに基づくダイナミクスの等価性を検証する。
• 分析を拡張し、記憶項を含むパラメータ化のマルチスケールモデリングへの広範な適用可能性を主張する。特に、地球流体力学への応用が顕著である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルイユの応答理論を用いて導かれた代替ダイナミクスは、遅い変数について、正確なモーリー＝ツワンジグ形式の射影ダイナミクスとどの程度一致するか？
• RQ2 記憶効果と確率的駆動項は、弱く結合された系における低次元化モデルの統計的・ダイナミカル整合性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 マルチスケール系において、応答理論から導かれた代替ダイナミクスにフラクチュエーション・ドレスタン定理を信頼性を持って適用できるか？
• RQ4 結合強度と時間スケール分離の両方が、未解決プロセスの正確なパラメータ化を可能にする要因として果たす役割は何か？
• RQ5 パラメータ化をどのように設計すれば、長期的統計的性質と短期的ダイナミカル進化の両方を同時に保持できるか？

主な発見

• ルイユの応答理論を用いて導かれた代替ダイナミクスは、結合強度の2次までの精度でモーリー＝ツワンジグ形式の射影ダイナミクスと一致する。
• 記憶効果と確率的駆動項は、単なる補正項ではなく、低次元化モデルにおける統計的・ダイナミカル整合性を達成するための本質的要素である。
• 代替ダイナミクスの不変測度は、ルベーグ測度に関して絶対連続であるため、フラクチュエーション・ドレスタン定理の適用が可能である。
• ルイユ法とモーリー＝ツワンジグ法の等価性は、記憶項を含むパラメータ化が、時間スケールをまたがるスムーズな予測の根幹であることを示唆している。
• 結果は、記憶項とノイズ項を適切に取り入れれば、気象予報と気候モデルの両方で同じモデルフレームワークを用いることが支持される。
• 理論的枠組みは、大きな時間スケール分離がなくても安定しており、弱い結合性に依存するため、地球流体のような複雑な系への応用範囲が広がる。