[論文レビュー] Multi-Moments Method for Portfolio Management: Generalized Capital Asset Pricing Model in Homogeneous and Heterogeneous markets

Yannick Malevergne, Didier Sornette|ArXiv.org|Jul 19, 2002

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モーメントの累積量と半不変量に基づく多モーメントリスク測度を用いて、分散を越えるテールリスクを捉える一般化された資本資産評価モデル（CAPM）を導入する。柔軟なワイブルに基づくパラメトリックモデルを用いて、ポートフォリオのモーメントと累積量の正確な式を導出し、均質的および非均質的市場の両方で、期待リターンを向上させつつ大きなリスクを低減する解析的最適化を可能にする。これは『ケーキを食べたいし、それを食べてもよい』という状況を実現する。

ABSTRACT

We introduce a new set of consistent measures of risks, in terms of the semi-invariants of pdf's, such that the centered moments and the cumulants of the portfolio distribution of returns that put more emphasis on the tail the distributions. We derive generalized efficient frontiers, based on these novel measures of risks and present the generalized CAPM, both in the cases of homogeneous and heterogeneous markets. Then, using a family of modified Weibull distributions, encompassing both sub-exponentials and super-exponentials, to parameterize the marginal distributions of asset returns and their natural multivariate generalizations, we offer exact formulas for the moments and cumulants of the distribution of returns of a portfolio made of an arbitrary composition of these assets. Using combinatorial and hypergeometric functions, we are in particular able to extend previous results to the case where the exponents of the Weibull distributions are different from asset to asset and in the presence of dependence between assets. In this parameterization, we treat in details the problem of risk minimization using the cumulants as measures of risks for a portfolio made of two assets and compare the theoretical predictions with direct empirical data. Our extended formulas enable us to determine analytically the conditions under which it is possible to ``have your cake and eat it too'', i.e., to construct a portfolio with both larger return and smaller ``large risks''.

研究の動機と目的

• 従来の平均・分散フレームワークを越えて、高次リスク測度を組み込んだ一般化CAPMの開発。
• ポートフォリオ理論におけるガウス分布仮定の限界を克服するため、テールイベントに重点を置いた累積量と半不変量をリスク測度として使用。
• 任意の形状パラメータと相関関係を許容する修正ワイブル分布を用いた、ポートフォリオリターン分布の解析的取り扱い可能なパラメトリックモデルの提供。
• 期待リターンを高めつつ、大きなリスクを低減できる条件を導出し、伝統的なリスク・リターントレードオフを覆す。
• 実用的ポートフォリオ最適化に向けた高次モーメントの正確な推定を可能にする、最大エントロピーによるパrameterizationの適用。

提案手法

• 累積量と絶対中心モーメントを用いて、分散に基づくリスクの一般化である一貫性がありリスク回避的なポートフォリオの変動測度を採用。
• 部分的および超指数的テールを許容する、修正ワイブル分布の族を用いて、個別資産リターン分布をモデル化。
• 資産間の任意の形状パラメータを持つ多変量一般化ワイブル分布を用いて、依存する資産リターンをモデル化。
• 組み合わせ的恒等式と超幾何関数を用いて、異なる資産間で指数が異なる場合でも、ポートフォリオの累積量およびモーメントの正確な解析的表現を導出。
• ポートフォリオ重みの合計が1に等しくなる制約下で、高次累積量を最小化する最適なポートフォリオ重みをラグランジュ乗数法で求解。
• 高次モーメントの推定を強固にするために、最大エントロピー原理を用いてリターン分布をパrameterize。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝統的なリスク・リターントレードオフに反して、期待リターンが上昇し、かつ大きなリスクが低下するポートフォリオを構築可能か？
• RQ2 期待リターンを最大化しつつ、分散を超える高次累積量（n次累積量）を最小化するための解析的条件は何か？
• RQ3 依存する資産リターンの同時分布をどのようにパラメータ化すれば、ポートフォリオのモーメントと累積量の正確な計算が可能になるか？
• RQ4 部分的および超指数的テール行動の違いが、多モーメントリスク測度下での最適ポートフォリオ割合に与える影響は何か？
• RQ5 均質的および非均質的市場において、高次モーメントをリスク測度として用いる場合、一般化CAPMは古典的CAPMとどのように異なるか？

主な発見

• 形状パラメータが異なる資産間でも、超幾何関数を用いてポートフォリオリターン分布の累積量の正確な解析的式を導出できた。
• 2資産ポートフォリオの場合、n次累積量を最小化する最適重みは $ w^* = \frac{C_n(2)^{1/(n-1)}}{C_n(1)^{1/(n-1)} + C_n(2)^{1/(n-1)}} $ で与えられ、明示的なリスク・リターントレードオフ分析が可能になる。
• 累積量を最小化するポートフォリオの期待リターン $ \mu_n^* $ は、個別資産リターンの重み付き平均として表現可能であり、重みは累積量の $ (n-1) $ 乗根に比例する。
• 条件 $ \mu_n^* < \mu_{n+k}^* $ が $ (\mu(1)-\mu(2)) \left( C_n(1)^{1/(n-1)} C_{n+k}(2)^{1/(n+k-1)} - C_n(2)^{1/(n-1)} C_{n+k}(1)^{1/(n+k-1)} \right) > 0 $ を満たすとき、高次モーメントがより優れたリスク・リターン組み合わせをもたらすことが証明される。
• 一般のN資産ケースでは、最適重みは $ w_i = \frac{\prod_{j \neq i} C_n(j)^{1/(n-1)}}{\sum_j C_n(j)^{1/(n-1)}} $ で与えられ、累積量の大きさに基づくパワーウェイティングルールが示される。
• モデルは、資産リターンの高次モーメントに特定の条件が満たされる場合、解析的に『ケーキを食べたいし、それを食べてもよい』—すなわち、より高いリターンと低い大きなリスクを同時に達成可能であることを示している。