[論文レビュー] Multi-Objective Maximization of Monotone Submodular Functions with Cardinality Constraint

Rajan Udwani|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基数制約の下で単調な部分加法的関数の多目的最大化に対して、高速で漸近的に最適なアルゴリズムを提示する。乗法的重み更新（MWU）を用いて、$(1-1/e)^2 - \delta$ の近似解を $\tilde{O}(n/\delta^3)$ 時間で達成する。従来の研究は目的数 $m$ が定数に制限されていたが、本稿では $m$ が超定数であっても強力な理論的保証を維持し、実験でもヒューリスティクスを上回る性能を示した。

ABSTRACT

We consider the problem of multi-objective maximization of monotone submodular functions subject to cardinality constraint, often formulated as $\\max_{|A|=k}\\min_{i\\in\\{1,\\dots,m\\}}f_i(A)$. While it is widely known that greedy methods work well for a single objective, the problem becomes much harder with multiple objectives. In fact, Krause et al.\\ (2008) showed that when the number of objectives $m$ grows as the cardinality $k$ i.e., $m=\\Omega(k)$, the problem is inapproximable (unless $P=NP$). On the other hand, when $m$ is constant Chekuri et al.\\ (2010) showed a randomized $(1-1/e)-\\epsilon$ approximation with runtime (number of queries to function oracle) $n^{m/\\epsilon^3}$. %In fact, the result of Chekuri et al.\\ (2010) is for the far more general case of matroid constant. We focus on finding a fast and practical algorithm that has (asymptotic) approximation guarantees even when $m$ is super constant. We first modify the algorithm of Chekuri et al.\\ (2010) to achieve a $(1-1/e)$ approximation for $m=o(\\frac{k}{\\log^3 k})$. This demonstrates a steep transition from constant factor approximability to inapproximability around $m=\\Omega(k)$. Then using Multiplicative-Weight-Updates (MWU), we find a much faster $\ ilde{O}(n/\\delta^3)$ time asymptotic $(1-1/e)^2-\\delta$ approximation. While the above results are all randomized, we also give a simple deterministic $(1-1/e)-\\epsilon$ approximation with runtime $kn^{m/\\epsilon^4}$. Finally, we run synthetic experiments using Kronecker graphs and find that our MWU inspired heuristic outperforms existing heuristics.

研究の動機と目的

• 基数制約の下で複数の単調な部分加法的関数を同時に最大化する課題に取り組むこと、特に目的数 $m$ が基数 $k$ と同時に増加する場合に焦点を当てる。
• $m = \Omega(k)$ の場合に知られている近似不能性の結果と、定数 $m$ のみで動作する既存の近似アルゴリズムとの間のギャップを埋めること。
• $m$ が超定数であっても、特に $m = o(k / \log^3 k)$ の場合に、強力な理論的近似保証を備えた高速でスケーラブルなアルゴリズムを開発すること。
• 乗法的重み更新（MWU）に基づく実用的なヒューリスティクスを設計し、Kroneckerグラフ上での合成実験で既存のヒューリスティクスを上回ること。

提案手法

• Chekuriら（2010）の確率的アルゴリズムを修正し、$m = o(k / \log^3 k)$ の場合に $(1-1/e)$ の近似解を得る。相対的利得に基づくしきい値による段階的グリーディ選択を活用する。
• 新規のMWUベースのアルゴリズムを導入。要素に対する分布を維持し、全目的関数における限界利得に基づいて重みを更新することで、$(1-1/e)^2 - \delta$ の近似解を達成する。
• 各要素をその重みに比例する確率で独立に含める確率的サンプリングプロセスを採用。部分加法性と単調性の仮定の下で、期待関数値が最適解の $(1-1/e)^2 - \delta$ 倍以上であることを証明する。
• 二段階アプローチを採用：まず、グリーディ選択フェーズでサイズ $O(m / \varepsilon^3)$ のコアセットを構築し、次にMWUを用いて複数ラウンドにわたり解を最適化する。
• 潜在関数の議論と部分加法性を用いてMWUアルゴリズムを分析し、期待限界利得の上限を導出し、近似的に最適な解に収束することを示す。
• 候補集合の全探索を用いた決定的バージョンを提示。$(1-1/e) - \varepsilon$ の近似解を達成し、実行時間は $kn^{m/\varepsilon^4}$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目的数 $m$ が基数 $k$ と共に増加する場合、定数 $m$ の範囲を超えて多目的部分加法的関数最大化の定数因子近似が可能か？
• RQ2 $m$ が $k$ に対して増加する際の近似可能性の漸近的閾値は何か？ また、近似可能性から近似不能性への鋭い遷移が生じるか？
• RQ3 $m$ が超定数である場合に、$\tilde{O}(n/\delta^3)$ 時間で $(1-1/e)^2 - \delta$ の近似解を達成する高速なアルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 MWUに基づくヒューリスティクスは、大規模な合成グラフ上での既存のヒューリスティクスと比較して実際の性能で優れているか？

主な発見

• 本稿では、近似可能性の鋭い閾値を確立した：$m = o(k / \log^3 k)$ の場合、$(1-1/e)$ の近似解が達成可能であるが、$m = \Omega(k)$ の場合、$P = NP$ でない限り問題は近似不能となる。
• 提案されたMWUベースのアルゴリズムは、$\tilde{O}(n/\delta^3)$ 時間で $(1-1/e)^2 - \delta$ の近似解を達成し、従来の確率的アルゴリズムの $n^{m/\varepsilon^3}$ 実行時間と比べて顕著に高速化された。
• 決定的アルゴリズムは、実行時間 $kn^{m/\varepsilon^4}$ で $(1-1/e) - \varepsilon$ の近似解を達成し、確率的処理を避けたい状況において強力な代替手段を提供する。
• MWUに着想を得たヒューリスティクスは、Kroneckerグラフ上での合成実験で既存のヒューリスティクスを上回る性能を示し、実用的優位性を実証した。
• 理論的分析により、期待関数値が部分加法性と単調性の仮定のもとで、最適解の $(1-1/e)^2 - \delta$ 倍以上であることが示された。
• 解析により、最初のフェーズで各目的関数が選択に寄与できる要素数は最大 $1/\varepsilon^3$ 個に制限され、セットサイズの有界性が保証され、計算の効率化が可能となる。