[論文レビュー] Multi-Pass Graph Streaming Lower Bounds for Cycle Counting, MAX-CUT, Matching Size, and Other Problems

Sepehr Assadi, Gillat Kol+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 82被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、従来のブール型隠しハイパーマッチング（BHH）に基づく手法が1パスアルゴリズムにしか適用されないのを克服する新しいラウンド削減技術を導入することで、サイクルカウント、MAX-CUT、マッチングサイズ推定といった基本的グラフ問題に対する、初めてのマルチパスストリーミング下界を確立した。主な結果は、$k$-サイクルと$2k$-サイクルを区別する任意の$p$-パスアルゴリズムが$n^{1 - 1/k^{\Omega(1/p)}}$の空間を要することを示しており、複数の問題におけるマルチパスストリーミングアルゴリズムの強力な下界を可能にする。

ABSTRACT

Consider the following gap cycle counting problem in the streaming model: The edges of a $2$-regular $n$-vertex graph $G$ are arriving one-by-one in a stream and we are promised that $G$ is a disjoint union of either $k$-cycles or $2k$-cycles for some small $k$; the goal is to distinguish between these two cases. Verbin and Yu [SODA 2011] introduced this problem and showed that any single-pass streaming algorithm solving it requires $n^{1-Ω(\frac{1}{k})}$ space. This result and the technique behind it -- the Boolean Hidden Hypermatching communication problem -- has since been used extensively for proving streaming lower bounds for various problems. Despite its significance and broad range of applications, the lower bound technique of Verbin and Yu comes with a key weakness that is inherited by all subsequent results: the Boolean Hidden Hypermatching problem is hard only if there is exactly one round of communication and can be solved with logarithmic communication in two rounds. Therefore, all streaming lower bounds derived from this problem only hold for single-pass algorithms. We prove the first multi-pass lower bound for the gap cycle counting problem: Any $p$-pass streaming algorithm that can distinguish between disjoint union of $k$-cycles vs $2k$-cycles -- or even $k$-cycles vs one Hamiltonian cycle -- requires $n^{1-\frac{1}{k^{Ω(1/p)}}}$ space. As a corollary of this result, we can extend many of previous lower bounds to multi-pass algorithms. For instance, we can now prove that any streaming algorithm that $(1+ε)$-approximates the value of MAX-CUT, maximum matching size, or rank of an $n$-by-$n$ matrix, requires either $n^{Ω(1)}$ space or $Ω(\log{(\frac{1}ε)})$ passes. For all these problems, prior work left open the possibility of even an $O(\log{n})$ space algorithm in only two passes.

研究の動機と目的

• 従来の手法が失敗するマルチパス設定にまで単一パス技術を拡張することで、ストリーミング下界における重要なギャップを埋める。
• 2回以上の通信ラウンドで崩壊してしまうブール型隠しハイパーマッチング（BHH）通信問題の制限を克服する。
• 一般化されたラウンド削減議論を用いて、マルチパスグラフストリーミングアルゴリズムのための新しい下界フレームワークを確立する。
• MAX-CUT、マッチングサイズ、行列ランク、シュタットンノルムの既存の単一パス下界をマルチパス領域に拡張する。
• マルチパスストリーミングモデルにおける多数のグラフおよび行列問題の強力な空間計算量下界を一括して導出する統一的アプローチを提供する。

提案手法

• 複数ラウンドにおいても崩壊を回避できるように設計された、コアな難易度を捉える新しい通信問題、ワンマッチィングカラーリング（OMC）問題を導入する。
• OMCの難易度を$p$-ラウンド通信においても保証するラウンド削減議論を開発し、マルチパスストリーミング下界を可能にする。
• OMC問題をサイクルカウント、MAX-CUT、マッチングサイズ推定といった基本的グラフ問題への還元に用いる。
• レイヤードグラフおよびネストされたブロックグラフの構造を活用して、$k$-サイクルと$2k$-サイクルの振る舞いを模倣し、複数パスにわたって難易度を保持する。
• 補助情報補題を含む情報理論的ツールを用いて、OMC問題の複数ラウンドにおける通信複雑度を評価する。
• 従来のBHHからの還元を新しいマルチラウンド通信モデルに拡張し、既存の単一パス下界がわずかな修正でマルチパス設定に持ち上げられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール型隠しハイパーマッチング（BHH）通信問題をマルチラウンド設定に拡張することで、より強いストリーミング下界を得られるか？
• RQ2 $k$-サイクルの素性集合と$2k$-サイクルの素性集合を区別する$p$-パスストリーミングアルゴリズムに必要な最小空間は何か？
• RQ3 MAX-CUT、マッチングサイズ、行列ノルムの既存の単一パス下界は、マルチパスアルゴリズムに拡張可能か？
• RQ4 グラフストリーミング問題において、複数通信ラウンドにわたって難易度を保持するラウンド削減技法は存在するか？
• RQ5 ストリーミングモデルにおいて、基本的グラフおよび行列特性を近似する際の、パス数と空間複雑度のトレードオフは何か？

主な発見

• $k$-サイクルと$2k$-サイクルの素性集合を区別する任意の$p$-パスストリーミングアルゴリズムは$n^{1 - 1/k^{\Omega(1/p)}}$の空間を要する。これは、この問題に対する最初のマルチパス下界を確立する。
• $k$-サイクルと1つのハミルトニアンサイクルを区別する場合でも、$k$-vs-$2k$サイクルカウント問題の下界は成立し、技術の頑健性を示す。
• $(1+\varepsilon)$-近似のMAX-CUT、最大マッチングサイズ、行列ランクに関して、任意の$p$-パスアルゴリズムは$n^{\Omega(1)}$の空間または$\Omega(\log(1/\varepsilon))$のパスを要する。これは、低空間マルチパスアルゴリズムの可能性に関する未解決の問いを解消する。
• スパース行列のシュタットン$q$-ノルム近似には、$p$パスで$\varepsilon \cdot 2^{-O(p)} \cdot n^{1 - g(\varepsilon,p)}$の空間が必要であり、$g(\varepsilon,p)$は近似誤差とパス数のトレードオフを捉える。
• ブロック入れ替えによるソーティング問題に対しても、$p$パスで$\varepsilon \cdot 2^{-O(p)} \cdot n^{1 - g(\varepsilon,p)}$の空間が必要であり、このフレームワークのストリング処理問題への適用範囲を拡張する。
• ラウンド削減議論は、複数ラウンドで崩壊するBHHを効果的に克服し、グラフストリーミング問題における通信複雑度に基づく最初のマルチパス下界を実現した。