[論文レビュー] Multi-Prover Quantum Merlin-Arthur Proof Systems with Small Gap

Attila Pereszlényi|arXiv (Cornell University)|May 12, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、指数的に小さい完全性-正しさのギャップを有する多プローバー量子メルリンクォーラス（QMA[k]）証明系がNEXP（非決定的指数時間）と同等の表現力を有することを確立している。一方、同じギャップを有する単一プローバーQMA系はEXPに含まれる。この結果は、要約的3色割り当て問題に対するBlier-Tappプロトコルを用いて得られ、ベル測定のみを実行可能な検証者（BellQMA）も、証明の数が入力サイズに線形に依存する場合、小ギャップ条件下でNEXPの表現力を達成できることを示している。これは、EXP ≠ NEXPを仮定すれば、小ギャップ領域における単一プローバー系と多プローバー系の分離を示しており、良好な近似パラメータを持つ効率的なアンテングルャー（disentangler）の存在を排除する。

ABSTRACT

This paper studies multiple-proof quantum Merlin-Arthur (QMA) proof systems in the setting when the completeness-soundness gap is small. Small means that we only lower-bound the gap with an inverse-exponential function of the input length, or with an even smaller function. Using the protocol of Blier and Tapp [arXiv:0709.0738], we show that in this case the proof system has the same expressive power as non-deterministic exponential time (NEXP). Since single-proof QMA proof systems, with the same bound on the gap, have expressive power at most exponential time (EXP), we get a separation between single and multi-prover proof systems in the 'small-gap setting', under the assumption that EXP is not equal to NEXP. This implies, among others, the nonexistence of certain operators called disentanglers (defined by Aaronson et al. [arXiv:0804.0802]), with good approximation parameters. We also show that in this setting the proof system has the same expressive power if we restrict the verifier to be able to perform only Bell-measurements, i.e., using a BellQMA verifier. This is not known to hold in the usual setting, when the gap is bounded by an inverse-polynomial function of the input length. To show this we use the protocol of Chen and Drucker [arXiv:1011.0716]. The only caveat here is that we need at least a linear amount of proofs to achieve the power of NEXP, while in the previous setting two proofs were enough. We also study the case when the proof-lengths are only logarithmic in the input length and observe that in some cases the expressive power decreases. However, we show that it doesn't decrease further if we make the proof lengths to be even shorter.

研究の動機と目的

• 完全性-正しさのギャップが指数的に小さい、もしくはそれ以下の多プローバー量子メルリンクォーラス（QMA[k]）証明系の表現力を調査すること。
• このような証明系が、検証者の能力制限や証明長に制約を受けても、NEXPの全表現力を達成できるかどうかを特定すること。
• ベル測定のみを実行可能な検証者（BellQMA）が、小ギャップ領域において完全なQMA[k]系をシミュレートできるかどうかを調査すること。
• 証明長が入力サイズに対して対数的である場合、QMA[k]系の表現力に及ぼす影響を検討すること。
• 効率的なアンテングルャーの存在可能性およびQMAとQMA[2]の分離に関する、小ギャップ仮定のもとでの含意を確立すること。

提案手法

• NEXP完全問題（SUCCINCT3COL）に対してBlier-Tappプロトコルを適用し、小ギャップにおけるQMA[k]のNEXP下界を証明する。
• Chen-Druckerプロトコルを適用して、線形に多くの証明を有するBellQMA[k]系が、小ギャップ条件下でNEXPの表現力を達成できることを示す。
• 等価性テスト、一様性テスト、整合性テストを含む量子状態検証技術を用いて、正しさの誤差を制限する。
• 魔法状態と量子回路を用いたユニタリ合成により、対数的長さの証明上で任意のユニタリをシミュレートする。
• 量子回路コンパイルと魔法状態の精錬を用いて、対数的長さの証明を有する多プローバー系を1キュービット証明に還元する。
• 誠実なプローバーと悪意あるプローバーの両方における受容確率を分析し、指数的に小さい誤差を有する完全性および正しさパラメータを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全性-正しさのギャップが指数的に小さい多プローバーQMA[k]系が、NEXPの全表現力を達成できるか？
• RQ2 小ギャップにおけるQMA[k]の表現力はプローバー数に依存するか？NEXPに到達するのに必要な最小プローバー数は何か？
• RQ3 ベル測定のみを実行可能なベルQMA検証者が、小ギャップ領域において一般のQMA[k]検証者と同等の表現力を達成できるか？
• RQ4 証明長が入力サイズに対して対数的である場合、QMA[k]系の表現力に及ぼす影響は何か？
• RQ5 本結果は、良好な近似パラメータを持つ効率的なアンテングルャーの非存在を示唆するか？

主な発見

• 入力サイズの関数として逆二重指数関数的であるような完全性-正しさのギャップに制限されたQMA[k]は、プローバー数が多項式的かつ少なくとも2つであれば、NEXPと同等の表現力を有する。
• 片側誤差でも成立し、小ギャップQMA[k]系が指数的に小さい誤差でNEXPを達成できることを示している。
• ベル測定のみを実行可能なベルQMA[k]系が、線形に多くのプローバーを有する場合、小ギャップ領域においてQMA[k]と同等の表現力を達成できることを示している。これは、標準的な逆多項式ギャップ設定では未知の結果である。
• 証明長が対数的サイズ以下に短縮されても、QMA[k]の表現力はさらに低下しない。
• EXP ≠ NEXPを仮定すると、良好な近似パラメータを持つ効率的なアンテングルャー（エンタングルメントを解消する演算子）の存在は不可能であると示唆している。
• EXP ≠ NEXPを仮定すれば、小ギャップ領域において単一プローバーQMAと多プローバーQMA[k]の分離が示唆される。