[論文レビュー] Multi-scale turbulence modeling and maximum information principle. Part 1

Limin Tao|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性ニュートン流体のためのマルチスケール乱流モデルフレームワークを提案する。最大情報量原理を用いて、空間スケールにわたる乱流揺らぎの偏りのない確率密度関数を導出する。等式制約および不等式制約（特にコーシー＝シュワルツの不等式から導かれるもの）の下で情報量を最大化することで、4次までの相関まで閉じたモデルが得られる。直接の情報量最大化は計算的に扱いにくいため、その代わりにトレースや共分散行列の行列式といった計算的に扱いやすい代替指標を用いる。これにより、情報理論的根拠に基づいた閉じたモデルが得られ、均一乱流への応用において有望な初期結果を示している。

ABSTRACT

We discuss averaged turbulence modeling of multi-scales of length for an incompressible Newtonian fluid, with the help of the maximum information principle. We suppose that there exists a function basis to decompose the turbulent fluctuations in a flow of our concern into the components associated with various spatial scales and that there is a probability density function $\pdf$ of these fluctuation components. The unbiased form for $\pdf$ is determined and the turbulence model is closed, with the multi-scale correlations up to the fourth order, through maximizing the information under the constraints of equality and inequality for that flow. Due to the computational difficulty to maximize the information, a closely related but simple alternative objective is sought, like the determinant or the trace of the second order correlations of the turbulent flow. Some preliminary results and implications from the application to homogeneous turbulence are presented. Some issues yet to be resolved are indicated.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ニュートン流体のための統計的に整合的でマルチスケールな乱流モデルを構築し、空間スケールにわたる相関を解明すること。
• 乱流モデルの閉じる問題に対処するために、最大情報量原理を用いて揺らぎ成分の偏りのない確率密度関数を決定すること。
• 情報量最大化の計算的非可解性を克服するため、トレースや共分散行列の行列式といったより単純な関連目的関数を探索すること。
• 均一乱流というマルチスケールモデリングの代表的テストケースにおいて、モデルの妥当性と物理的関連性を検証すること。
• 非均一流、壁面上流、複雑な流れへの拡張に際しての根本的課題を特定・解決すること。

提案手法

• 乱流速度および圧力揺らぎを、異なる空間スケールに関連する成分に分解する関数基底を仮定する。
• 波数空間および物理空間の両方で統計的制約を定式化し、ナビエ＝ストークス方程式からの等式制約と、コーシー＝シュワルツの不等式のような不等式制約を含む。
• 最大情報量原理を適用して、これらの制約下で揺らぎ成分の連続確率密度関数 f の偏りのない形を導出する。
• 計算的に扱いにくい情報量の最大化を、共分散行列 βij のトレース（全揺らぎエネルギー）および行列式（非ガウス性）といった計算的に扱いやすい代替指標に置き換える。
• 4次までの相関を含む閉じた乱流モデルを導出し、選択した目的関数以外に追加の自由パラメータを含まない。
• スペクトル的および統計的手法を用いて、直接数値シミュレーション（DNS）および実験データとの整合性を評価することで、均一乱流におけるモデルの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大情報量原理は、物理的および統計的制約の下で、偏りのない揺らぎ統計の閉じたモデルを生み出すために、マルチスケール乱流モデリングに効果的に適用可能か？
• RQ2 物理的整合性を保ちつつ、情報量最大化の計算的に非可解な問題をどのように解決できるか？
• RQ3 情報最大化の代理目的関数として共分散行列のトレースおよび行列式を用いることの意味は何か？
• RQ4 得られたモデルは、均一乱流の文脈において物理的に意味のある予測を生み出すか？
• RQ5 非均一流および壁面上流乱流へのこのフレームワークの拡張に際しての主な課題は何か？

主な発見

• 最大情報量原理により、物理的および統計的制約の下で、揺らぎ成分の連続確率密度関数の偏りのない形を決定することで、4次までの相関まで閉じたマルチスケール乱流モデルが成功裏に得られた。
• モデルは構造的に最小限であり、選択した目的関数以外に追加係数を含まず、高次項の経験的モデリングを必要としない閉じた形である。
• 均一乱流における初期結果は、直接数値シミュレーション（DNS）および実験データと整合しており、特に均一せん断乱流の状況で顕著である。
• 共分散行列のトレースを目的関数として用いることは、物理的に正当化されており、それが流れ全体の全揺らぎエネルギーに対応するからである。
• 非ガウス的挙動を捉えるために、共分散行列の行列式はわずかに非ガウス的な流れにおいて適切な代替指標である。
• 非均一流への拡張に際しては、波数局所性の適切な取り扱い、高波数における等方性、物理空間における一貫した不等式制約の定式化といった、依然として大きな課題が残っている。