[論文レビュー] Multi-type TASEP in discrete time

Jean Martin, Philipp Schmidt|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は離散時間における多型完全非対称単純排除過程（TASEP）を研究し、逐次的更新則とサブラティス平行更新則を連続時間TASEPと比較する。逐次的更新では、不変測度と衝突確率が連続時間の場合と同一であり、跳躍確率βに依存しないことが示され、一方サブラティス更新ではβが定常分布に重要な役割を果たすことが判明する。

ABSTRACT

The TASEP (totally asymmetric simple exclusion process) is a basic model for an one-dimensional interacting particle system with non-reversible dynamics. Despite the simplicity of the model it shows a very rich and interesting behaviour. In this paper we study some aspects of the TASEP in discrete time and compare the results to the recently obtained results for the TASEP in continuous time. In particular we focus on stationary distributions for multi-type models, speeds of second-class particles, collision probabilities and the "speed process". In discrete time, jump attempts may occur at different sites simultaneously, and the order in which these attempts are processed is important; we consider various natural update rules.

研究の動機と目的

• 離散時間における多型TASEPをさまざまな更新則を用いて解析し、連続時間TASEPの結果を拡張すること。
• 離散時間モデルにおける定常分布と粒子衝突確率が連続時間TASEPと一致するかどうかを特定すること。
• 更新則の選択（逐次的対サブラティス並列）が不変測度とダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 偶数サイトと奇数サイトで時間に依存するレートをもつ離散時間モデルに、キューに基づく不変測度の構成を拡張すること。
• 水圧的極限および第二級粒子と速度過程の離散時間における挙動を検討すること。

提案手法

• 粒子の移動をモデル化するために、連続時間では独立したポアソン過程、離散時間ではベルヌーイ過程を用いた図式的構成法を用いる。
• 基本的カップリングと確率的支配を用いて、離散時間および連続時間のダイナミクスを比較する。
• 偶数時刻と奇数時刻で異なる到着率とサービス率を割り当てることで、サブラティス更新のための不変測度をキューに基づいて構築する。
• 一様順序統計の枠組みにおいて逆変換サンプリングと変数変換を用いて、粒子位置の同時密度を導出する。
• 平行移動不変性とエルゴード性を用いて、異なる更新則と時間スケール間での分布を等価とみなす。
• 第二級粒子の極限定理と経路ごとのカップリングを用いて、速度過程と衝突確率を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間多型TASEPにおける逐次的更新の下で、多型不変測度は連続時間TASEPと一致するか？
• RQ2 異なる更新則の下で、離散時間TASEPにおける跳躍確率βは定常分布にどのように影響するか？
• RQ3 離 discrete 時間における多型系における第二級粒子間の衝突確率はβに依存しないか？
• RQ4 離散時間TASEPにおける速度過程は連続時間の場合と同様に特徴付けられるか？
• RQ5 完全並列更新モデルにおける乖離の挙動は何か？ また、左端および右端の乖離は漸近的速さを持つか？

主な発見

• 逐次的更新では、離散時間TASEPにおける多型不変測度は連続時間TASEPと同一であり、βに依存しない。
• 多型系における第二級粒子の衝突確率はβに依存せず、連続時間の値と一致するが、これは離散時間ダイナミクスにもかかわらず成り立つ。
• サブラティス並列更新では、βが定常分布を決定づける上で重要な役割を果たし、不変測度は連続時間の場合と異なる。
• 偶数サイトと奇数サイトで異なる到着率とサービス率を割り当てることで、キューに基づく不変測度の構成を離散時間へ拡張した。
• 定常分布における粒子位置の同時密度が明示的に導出され、βおよび累積分布関数の逆関数に依存することが示された。
• 離 discrete 時間における速度過程は連続時間の場合と同様のスケーリング行動を示し、逐次的更新では粒子順序の分布が保存される。