[論文レビュー] Multi-valued variational inequalities for variable exponent double phase problems: comparison and extremality results

Siegfried Carl, Vy Khoi Le+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2022

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ひとこと要約

本稿は、Musielak-Orlicz-Sobolev 空間における変動型指数をもつ二重位相作用素を含む多値変分不等式について、存在性、比較、極値に関する結果を確立する。制約集合に弱い強制性およびラティス条件を課すことで、部分・上位解法を導入し、極値解の存在を証明する。固定点法を用いて、一般化された変分・半変分不等式および不連続 Nemytskij 作用素への応用も行う。

ABSTRACT

We prove existence and comparison results for multi-valued variational inequalities in a bounded domain $Ω$ of the form \begin{equation*} u\in K\,:\, 0 \in Au+\partial I_K(u)+\mathcal{F}(u)+\mathcal{F}_Γ(u)\quad ext{in }W^{1,\mathcal{H}}(Ω)^*, \end{equation*} where $A\colon W^{1, \mathcal{H}}(Ω) o W^{1, \mathcal{H}}(Ω)^*$ given by \begin{equation*} Au:=- ext{div}\left(| abla u|^{p(x)-2} abla u+ μ(x) | abla u|^{q(x)-2} abla u ight) \end{equation*} for $u \in W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$, is the double phase operator with variable exponents and $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ is the associated Musielak-Orlicz Sobolev space. First, an existence result is proved under some weak coercivity condition. Our main focus aims at the treatment of the problem under consideration when coercivity fails. To this end we establish the method of sub-supersolution for the multi-valued variational inequality in the space $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ based on appropriately defined sub- and supersolutions, which yields the existence of solutions within an ordered interval of sub-supersolution. Moreover, the existence of extremal solutions will be shown provided the closed, convex subset $K$ of $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ satisfies a lattice condition. As an application of the sub-supersolution method we are able to show that a class of generalized variational-hemivariational inequalities with a leading double phase operator are included as a special case of the multi-valued variational inequality considered here. Based on a fixed point argument, we also study the case when the corresponding Nemytskij operators $\mathcal{F}, \mathcal{F}_Γ$ need not be continuous. At the end, we give a nontrivial example of the construction of sub- and supersolutions related to the problem above.

研究の動機と目的

• 有界領域における変動型指数をもつ二重位相作用素によって駆動される多値変分不等式の存在および比較結果を確立すること。
• 標準的な強制性条件が成り立たない場合に、Musielak-Orlicz-Sobolev 空間における部分・上位解フレームワークを構築することで、その場合に対処すること。
• 凸制約集合 $K$ にラティス条件が成り立つ場合に、極値解の存在を証明すること。
• 一般化された変分・半変分不等式に二重位相作用素を含むものが、特殊な場合として本フレームワークに含まれることを示すこと。
• 連続性を仮定しない固定点法を用いて、不連続 Nemytskij 作用素への理論の拡張を達成すること。

提案手法

• 二重位相作用素 $Au = -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u + \mu(x)|\nabla u|^{q(x)-2}\nabla u)$ に関連する Musielak-Orlicz-Sobolev 空間 $W^{1\rho}(\nabla)$ において問題を定式化する。
• 変分不等式の構造と指示関数 $\partial I_K(u)$ の部分微分を用いて、$W^{1,\rho}(\nabla)$ 内での部分解および上位解を定義する。
• 任意の順序付き部分解・上位解のペアが、その間の順序区間内に解を有界化することを証明することで、部分・上位解法を確立する。
• 多値関数 $f, f_\Gamma$ の連続性を仮定しないで、不連続 Nemytskij 作用素 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$ を固定点法で取り扱う。
• 解集合内に最小および最大解が存在することを保証するため、$K \wedge K \subset K$ および $K \vee K \subset K$ のラティス条件を適用する。
• $L^\infty$-データをもつ補助的 Dirichlet 問題の解を用いて、明示的な部分解および上位解を構成し、手法の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強制性が成り立たない場合に、変動型指数をもつ二重位相作用素を含む多値変分不等式が解をもつための条件は何か？
• RQ2 Musielak-Orlicz-Sobolev 空間における非強制的・多値変分不等式に、部分・上位解法をどのように適応できるか？
• RQ3 制約集合 $K$ にどのような条件を課すと、解集合内に極値解が存在するか？
• RQ4 一般化された変分・半変分不等式に二重位相作用素を含むものは、本提案フレームワークの特殊な場合として埋め込まれるか？
• RQ5 連続性を仮定しない場合に、この文脈における不連続 Nemytskij 作用素はどのように取り扱えるか？

主な発見

• 弱い強制性条件下で、$W^{1,\mathcal{H}}(\Omega)$ 内の多値変分不等式に対して存在結果が確立された。
• 非強制的状況に対しても、部分・上位解法が成功裏に拡張され、部分解と上位解の順序区間内に解が存在することが示された。
• $K$ にラティス条件が成り立つ場合、解集合 $\mathcal{S}$ はコンパクトであり、最小解および最大解を有する。
• 一般化された変分・半変分不等式に二重位相作用素を含むクラスは、本提案フレームワークの特殊な場合であることが示された。
• 不連続 Nemytskij 作用素 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$ は固定点法により取り扱われ、多値源の連続性を仮定しないでよい。
• 明示的な例として、$L^\infty$-データをもつ Dirichlet 問題の解を用いて部分解および上位解を構成し、手法の適用可能性が検証された。