[論文レビュー] Multi-vortex traveling waves for the Gross-Pitaevskii equation and the Adler-Moser polynomials

Yong Liu, Juncheng Wei|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、小さい速度 ε を持つ Gross-Pitaevskii 方程式に対して、N(N+1)/2 対の ±1 次の渦を接着することで、多渦巻きの進行波解を構成する。これらの渦の位置は、Adler-Moser 多項式の根によって決定される。この構成は、N ≤ 34 に対して有効であり（単一の根により数値的に確認済み）、重複する根がないという仮定の下では N > 34 に対しても拡張可能であり、これはすべての N に対して成り立つと予想されている。

ABSTRACT

For $N\leq34,$ we construct traveling waves with small speed for the Gross-Pitaevskii equation, by gluing $N(N+1)/2$ pairs of degree $\pm1$ vortices of the Ginzburg-Landau equation. The location of these vortices is symmetric in the plane and determined by the Adler-Moser polynomials, which has its origin in the study of Calogero-Moser system and rational solutions of the KdV equation. The construction still works for $N>34$, under the additional assumption that the corresponding Adler-Moser polynomial has no repeated root. It is expected that this assumption holds for any $N\in\mathbb{N}$.

研究の動機と目的

• 小さい速度 ε > 0 を持つ Gross-Pitaevskii 方程式に対する多渦進行波解を構成すること。
• N(N+1)/2 対の ±1 次の渦を接着することで、そのような解の存在を確立すること。
• 渦の位置が、Calogero-Moser 系および有理 KdV 解から生じる Adler-Moser 多項式の根によって決定されることを示すこと。
• Adler-Moser 多項式の重複根がないという仮定の下で、N = 34 を超える範囲への構成を拡張すること。
• Darboux 変換と対称構造を用いて、渦配置の非退化性を証明すること。

提案手法

• 有限次元の Lyapunov-Schmidt 減少を用いて、存在問題を対称的渦配置の非退化性に還元する。
• Adler-Moser 多項式 An を用いて、渦の位置 pk および qk = −p̄k を決定する。
• 重み付きノルム ∥⋅∥∗ および ∥⋅∥∗∗ を用いて、無限遠における誤差と解の減衰を制御する線形理論を適用する。
• 摂動 η に対称性および直交性条件を課して、∂xu および ∂yu からの核方向を除去する。
• Lipschitz 依存性と小さな誤差項に依存して、渦位置の非線形系を解くための収縮写像原理を用いる。
• Adler-Moser 多項式の根の非退化性および Darboux 変換に依存して、可解性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さい速度 ε > 0 を持つ Gross-Pitaevskii 方程式に対して、渦の接着法を用いて多渦進行波解を構成できるか？
• RQ2 Adler-Moser 多項式の根は、安定な渦配置を支える対称的かつリング状の配置を提供するか？
• RQ3 N = 34 を超える範囲での構成は有効であり、その拡張にはどのような仮定が必要か？
• RQ4 渦配置の非退化性は、Adler-Moser 多項式の代数的性質とどのように関係するか？
• RQ5 Lyapunov-Schmidt 減少法は、小さい ε を持つ非コンパクト的・特異的性質を有する渦問題に対応して適応可能か？

主な発見

• 各 N ≤ 34 に対して、ε₀ > 0 が存在し、任意の ε ∈ (0, ε₀) に対して、N(N+1)/2 対の ±1 次の渦を持つ進行波方程式の解 Uε が存在する。
• 渦の位置 pk は、n = N(N+1)/2 を持つ Adler-Moser 多項式 An の根であり、qk = −p̄k であり、対称的かつリング状の構造を形成する。
• Adler-Moser 多項式 An に重複根がないという条件の下では、N > 34 に対しても構成は有効であり、これはすべての N ∈ ℕ に対して成り立つと予想されている。
• 近似解の誤差は O(ε¹⁻σ) で有界であり、核モードを射影した後、収縮写像によって解が得られる。
• 渦配置の非退化性は、Adler-Moser 多項式の代数的構造および Darboux 変換法によって保証される。
• 解は ∥η∥∗ ≤ C|ln ε|∥h∥∗∗ を満たし、重み付きノルム枠組みにおける射影線形問題の可解性が確認される。