[論文レビュー] Multi-way expansion constants and partitions of a graph

Mamoru Tanaka|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限グラフの $k$-way 展開定数とその $k$-分割における部分グラフの展開定数の関係を確立し、$k+1$-way 展開定数と次数が一様に有界なグラフ列が、高々 $k$ 個の拡張子列に分割可能であることを証明する。主な結果は、このようなグラフ列が任意のヒルバート空間へ粗い埋め込みができないことであり、古典的拡張子に対する既知の非埋め込み結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a relation between $k$-way expansion constant of a finite graph and the expansion constants of subgraphs in a $k$-partition of the graph. Using this relation, we show that a sequence of finite graphs which have uniformly bounded $k+1$-way expansion constants and uniformly bounded degrees can be divided into $k$ or less sequences of expanders. Furthermore, we prove that such sequence of finite graphs is not coarsely embeddable into any Hilbert space.

研究の動機と目的

• グラフの $k$-way 展開定数とその $k$-分割における誘導部分グラフの展開定数の関係を調査すること。
• 一様に有界な $k+1$-way 展開定数と次数を持つ有限グラフ列の特徴付けを行い、その構造的分解を同定すること。
• このようなグラフ列が任意のヒルバート空間へ粗い埋め込みができないことを証明し、古典的拡張子に対する非埋め込み結果を拡張すること。
• スペクトルグラフ理論（ラプラシアン固有値）と展開性、粗い幾何学の関係を結ぶこと。

提案手法

• 新しい不等式を導入し、$k$-way 展開定数 $h_k(G)$ と $k$-分割における部分グラフの最小展開定数の関係を示し、$\frac{h_{k+1}(G)}{3^{k+1}} \leq \min_i h(G^i)$ および $\max_i \frac{|\partial V^i|}{|V^i|} \leq 3^k h_k(G)$ を得る。
• この不等式を用いて、一様に有界な $k+1$-way 展開定数と次数を持つ任意の有限グラフ列が、高々 $k$ 個の古典的拡張子列に分解可能であることを証明する。
• 特にヒルバート空間への粗い埋め込みの概念を用いた粗い幾何学の結果を応用し、このようなグラフ列が粗い埋め込みができないことを示す。
• スペクトルグラフ理論を活用し、グラフラプラシアンの $k$ 番目の固有値 $\lambda_k(G)$ と $k$-way 展開定数 $h_k(G)$ の関係を、Lee-Gharan-Trevisan が示した既知の不等式を用いて結びつける。
• $\ell^2$ へのメトリック埋め込み $\rho_1$ を用いた背理法を用い、境界比が小さくなる拡張子列を含むグラフ列が粗い埋め込みができないことを示す。
• 非粗い埋め込みの十分条件を確立する：$|\partial V_{H_n}|/|V_{H_n}| \to 0$ を満たす誘導部分グラフ $H_n$ の列が拡張子であるようなグラフ列が、ヒルバート空間へ粗い埋め込みができないこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの $k$-way 展開定数は、$k$-分割された部分グラフの最小展開定数によって下から抑えられるか？
• RQ2 一様に有界な $k+1$-way 展開定数を持つ有限グラフ列は、どのような条件下で有限個の古典的拡張子列に分解可能か？
• RQ3 一様に有界な次数と正の $k+1$-way 展開定数を持つ有限グラフ列は、任意のヒルバート空間へ粗い埋め込みが可能か？
• RQ4 グラフラプラシアンの固有値と多項展開定数の関係は何か？この関係を用いて非埋め込み結果を導出可能か？
• RQ5 誘導部分グラフにどのような構造的条件が満たされると、グラフ列がヒルバート空間へ粗い埋め込みができないと示せるか？

主な発見

• 任意の有限グラフ $G$ の $k$-分割に対して、不等式 $\frac{h_{k+1}(G)}{3^{k+1}} \leq \min_{1 \leq i \leq k} h(G^i)$ が成り立ち、グローバルな展開性とローカルな展開性を結ぶ。
• $h_{k+1}(G)/3^{k+1} > h_k(G)$ ならば、$\max_i \frac{|\partial V^i|}{|V^i|} \leq 3^k h_k(G)$ を満たす $k$-分割が存在し、部分グラフにおける制御された展開性を示す。
• 一様に有界な $k+1$-way 展開定数と次数を持つ有限グラフ列は、高々 $k$ 個の古典的拡張子列に分割可能である。
• このようなグラフ列は任意のヒルバート空間へ粗い埋め込みができない。これは、古典的拡張子に対する既知の結果を一般化する。
• 境界比 $|\partial V_{H_n}|/|V_{H_n}| \to 0$ を満たす誘導拡張子列 $H_n$ を含むグラフ列は、ヒルバート空間へ粗い埋め込みができない。
• すべての $k$ に対して $\lambda_k(G_n) \to 0$ となるようなグラフ列に対しても、この結果は拡張可能であり、スペクトルの減衰が与えられた条件下で非埋め込み性を示す。