[論文レビュー] Multi-window STFT phase retrieval: lattice uniqueness

Philipp Grohs, Lukas Liehr+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2022

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間のヒルベルト関数に基づくガボール窓を用いた4つの窓を用いた多窓アプローチを導入することで、格子上における単一窓STFT位相再構成の根本的制限を解決する。4つの適切に選ばれた窓と格子密度 |det A|⁻¹ ≥ 4（実数値関数の場合には ≥2）の下で、任意の f ∈ L²(R) がグローバル位相を除き一意に再構成可能であることを証明しており、単一窓によるサンプリングにおける既知の非一意性の障壁を克服する。

ABSTRACT

Short-time Fourier transform (STFT) phase retrieval refers to the reconstruction of a function $f$ from its spectrogram, i.e., the magnitudes of its short-time Fourier transform $V_gf$ with window function $g$. While it is known that for appropriate windows, any function $f \in L^2(\mathbb{R})$ can be reconstructed from the full spectrogram $|V_g f(\mathbb{R}^2)|$, in practical scenarios, the reconstruction must be achieved from discrete samples, typically taken on a lattice. It turns out that the sampled problem becomes much more subtle: recent results have demonstrated that uniqueness via lattice-sampling is unachievable, irrespective of the choice of the window function or the lattice density. In the present paper, we initiate the study of multi-window STFT phase retrieval as a way to effectively bypass the discretization barriers encountered in the single-window case. By establishing a link between multi-window Gabor systems, sampling in Fock space, and phase retrieval for finite frames, we derive conditions under which square-integrable functions can be uniquely recovered from spectrogram samples on a lattice. Specifically, we provide conditions on window functions $g_1, \dots, g_4 \in L^2(\mathbb{R})$, such that every $f \in L^2(\mathbb{R})$ is determined up to a global phase from $$\left(|V_{g_1}f(A\mathbb{Z}^2)|, \, \dots, \, |V_{g_4}f(A\mathbb{Z}^2)| ight)$$ whenever $A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ satisfies the density condition $|\det A|^{-1} \geq 4$. For real-valued functions, a density of $|\det A|^{-1} \geq 2$ is sufficient. Corresponding results for irregular sampling are also shown.

研究の動機と目的

• 単一窓関数を用いた格子上でのSTFT位相再構成における根本的な非一意性を解決すること。
• 任意の単一窓と格子がグローバル位相を除き一意的再構成を保証できない理論的障壁を克服すること。
• サンプリングの冗長性を高めることで、離散位相再構成における一意性を回復する多窓フレームワークを構築すること。
• 複数の窓の格子上でのスペクトログラムサンプルが、二乗可積分関数の一意的再構成を可能にする条件を確立すること。
• 不規則なサンプリングおよび実数値関数への拡張を行い、密度要件の低減を示すこと。

提案手法

• 最初の2つのエルミート関数 h₀ と h₁ の線形結合として定義される窓を用いた多窓ガボール系を用いる。
• バーグマン変換を用いて、STFT位相再構成問題をフォック空間におけるサンプリングと一意性の問題に写像する。
• フォック空間におけるサンプリングと有限次元フレームにおける位相再構成の双対性を通じて、問題を関連付ける。
• 実数値関数がフォック空間表現において共役対称性を示すという事実を活用し、フォック空間における対称性と双対性の議論を応用する。
• シフトされた格子と部分格子分解（例：Γ₁, Γ₂）を用いて、複素共役に関して閉じた一意性集合を構築する。
• 窓族 {gₚ}ₚ∈P が C² で位相再構成を可能にするならば、多窓系が格子サンプルから f ∈ L²(R) をグローバル位相を除き一意に回復できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一窓関数を用いた場合、格子上でのSTFTスペクトログラムサンプルから f ∈ L²(R) の一意的再構成が可能か？
• RQ2 離散STFT位相再構成における一意性を回復するために必要な最小の窓数は何か？
• RQ3 複素数値関数か実数値関数かに応じて、一意性のための必要となる格子密度はどのように変化するか？
• RQ4 結果を非格子（不規則）なサンプリング集合へ拡張可能か？
• RQ5 フォック空間におけるサンプリング理論と有限次元位相再構成への双対性が、多窓位相再構成問題の解決に果たす役割は何か？

主な発見

• 複素数値関数の場合、h₀ と h₁ の線形結合として定義される4つの窓 {g₁, g₂, g₃, g₄} が、|det A|⁻¹ ≥ 4 である限り、任意の f ∈ L²(R) がグローバル位相を除き、格子 AZ² 上のスペクトログラムサンプルから一意に再構成可能である。
• 実数値関数の場合、格子密度は |det A|⁻¹ ≥ 2 にまで低減可能であり、これはシフトされた格子 (0, β/4)ᵀ + AZ² を用いることで達成される。
• 結果は不規則なサンプリング集合に対しても成り立つ：C に含まれる集合 Λ が A(L²(R)) に対して一意性集合であり、かつ複素共役に関して対称であるならば、上半平面におけるその交差集合が L²(R, R) 上での位相再構成を保証する。
• 回転された基底ベクトルを用いたシフト格子 Γ₁ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × 2βZ) および Γ₂ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × βZ) は、それぞれの共役を含めることで、実数値関数に対して位相再構成を達成する。
• 証明により、STFTドメインにおける位相なしサンプリングと有限次元位相再構成の間の双対性が確立され、フォック空間およびフレーム理論における既知の結果の応用が可能になる。
• 構成は明示的である：4つの窓はガウス関数と最初のヘルミート関数の線形結合として選べるため、応用において実用的である。