[論文レビュー] Multicolor Ramsey numbers of cycles in Gallai colorings

Fangfang Zhang, Zi‐Xia Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、虹色三角形を含まないGallai彩色における奇数および偶数のサイクルの多色Ramsey数を確立する—すなわち、すべての $k \geq 1$ および $n \geq 2$ に対して $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ を証明し、$k \geq 2$、$n \geq 3$ の場合に $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$ を示す。これらの結果は、構造的で三角形を含まないエッジ彩色の枠組みの中で、先行する予想と境界を統合・拡張するものである。

ABSTRACT

For a graph $H$ and an integer $k\ge1$, the $k$-color Ramsey number $R_k(H)$ is the least integer $N$ such that every $k$-coloring of the edges of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. Let $C_m$ denote the cycle on $m\ge4 $ vertices. For odd cycles, Bondy and Erdős [Ramsey numbers for cycles in graphs, J. Combin. Theory, Ser. B 14 (1973) 46--54] conjectured that for all $k\ge1$ and $n\ge2$, $R_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1.$ Recently, this conjecture has been verified to be true for all fixed $k$ and all $n$ sufficiently large by Jenssen and Skokan; and false for all fixed $n$ and all $k$ sufficiently large by Day and Johnson. In this paper, we first prove that the aforementioned conjecture of Bondy and Erdős holds for all $k$ and all $n$ under Gallai colorings, where a Gallai coloring is a coloring of the edges of a complete graph without rainbow triangles. For a graph $H$ and an integer $k\geq 1$, we define $GR_k(H)$ to be the least positive integer $N$ such that every Gallai $k$-coloring of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. We prove that for all $k\geq 1$ and $n\geq 2$, $GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$. Even cycles behave rather differently in this context. Little is known about the behavior of $R_k(C_{2n})$ in general except that $R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$ for all $k\ge2$ and $n\ge2$. We prove that $GR_k( C_{2n})= (n-1)k+n+1$ for all $k\geq 2$ and $n\geq 3$. Each of our main results yields a unified proof for all odd cycles and all even cycles, respectively.

研究の動機と目的

• Gallai彩色（虹色三角形を含まない）におけるサイクルの多色Ramsey数の挙動を解明すること。
• 一般の $k$-彩色では成立しないが、Gallai設定下で奇数サイクルのBondy-Erdős予想を検証すること。
• Gallai彩色における奇数および偶数サイクルのRamsey数を計算する統一的枠組みを構築すること。
• Gallai彩色制約下で、偶数サイクルに対する既知の下界を正確な値へと拡張すること。

提案手法

• Gallai $k$-彩色における $H$ の単色コピーを含む最小の $N$ を $GR_k(H)$ と定義し、特にサイクル $C_m$ を対象とする。
• 虹色三角形の不在に特化したGallai彩色の構造的性質を用い、問題をより単純で再帰的な彩色構成に還元する。
• 色数 $k$ における帰納法を用いて、$GR_k(C_{2n+1})$ および $GR_k(C_{2n})$ の正確な値を導出する。
• Gallai彩色が二色成分への再帰的分解を許容することを確立し、帰納的証明を可能にする。
• 既知の $R_k(C_{2n})$ の境界をGallai設定に適応し、タイトな正確値を導出する。
• 構造的および極値的議論を用いて、奇数サイクルにおける予想された値 $n \cdot 2^k + 1$ がGallai彩色で成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bondy-Erdős予想 $R_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ は、Gallai彩色下でも成立するか？
• RQ2 $k \geq 2$ および $n \geq 3$ の場合に、偶数サイクルの $GR_k(C_{2n})$ の正確な値は何か？
• RQ3 Gallai彩色における奇数および偶数サイクルのRamsey数を計算する統一的枠組みを構築できるか？
• RQ4 虹色三角形を避けるGallai彩色は、一般の彩色と比較して多色Ramsey数の挙動をどのように変化させるか？

主な発見

• すべての $k \geq 1$ および $n \geq 2$ に対して、奇数サイクルのGallai $k$-彩色Ramsey数は $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ を満たし、この制限付き設定でBondy-Erdős予想が裏付けられる。
• すべての $k \geq 2$ および $n \geq 3$ に対して、偶数サイクルのGallai $k$-彩色Ramsey数は正確に $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$ に等しく、タイトな正確値が得られる。
• 得られた結果は、Gallai彩色下での奇数および偶数サイクルの取り扱いを統一し、両者とも明快な閉形式式に従うことを示している。
• $GR_k(C_{2n+1})$ および $GR_k(C_{2n})$ の導出された値は最適であり、偶数の場合には既知の下界と一致し、奇数の場合にはGallai彩色に拡張されたものであるため、改善不可能である。
• 証明技法は、Gallai彩色がより強い構造的制御を可能にし、一般の $k$-彩色では失敗するが、ここでは正確なRamsey数の決定が可能であることを示している。
• 一般の $k$-彩色では成立しないBondy-Erdős予想が、Gallai彩色では奇数サイクルに対して普遍的に成立することを示している。