[論文レビュー] Multicomponent stress strength reliability estimation for Pareto distribution based on upper record values

Qazi J. Azhad, Mohd. Arshad+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、上位記録値を用いて、異なる形状母数と共通の尺度母数をもつ独立なパレート分布に従う強度と応力の多成分応力・強度信頼性推定を提案する。最尤推定、ベイズ推定、ブートストラップ法を用い、尺度母数が既知および未知の場合の推定器と信頼区間を導出する。シミュレーションおよび実データの分析により、MCMCおよびリンデリー近似を用いたベイズ推定器が優れた性能を示すことが示された。

ABSTRACT

In this article, inferences about the multicomponent stress strength reliability are drawn under the assumption that strength and stress follow independent Pareto distribution with different shapes $(α_1,α_2)$ and common scale parameter $θ$. The maximum likelihood estimator, Bayes estimator under squared error and Linear exponential loss function, of multicomponent stress-strength reliability are constructed with corresponding highest posterior density interval for unknown $θ.$ For known $θ,$ uniformly minimum variance unbiased estimator and asymptotic distribution of multicomponent stress-strength reliability with asymptotic confidence interval is discussed. Also, various Bootstrap confidence intervals are constructed. A simulation study is conducted to numerically compare the performances of various estimators of multicomponent stress-strength reliability. Finally, a real life example is presented to show the applications of derived results in real life scenarios.

研究の動機と目的

• 強度と応力が異なる形状母数と共通の尺度母数をもつ独立したパレート分布に従う場合の多成分応力・強度信頼性の統計的推論手法を開発すること。
• 尺度母数が既知および未知の場合の推定器（最尤推定、平方損失およびLINEX損失関数の下でのベイズ推定、一様最小分散不偏推定）を導出すること。
• 漸近的分布、最高後方密度（HPD）、およびブートストラップ法を用いて信頼区間を構築すること。
• 多数のシミュレーション研究を通じて、さまざまな推定器の性能を評価および比較すること。
• 電気絶縁性液体の破壊時間データを用いて、提案手法の実用的適用性を提示すること。

提案手法

• 強度および応力のサンプルからの上位記録値を用いて、少なくとも $ s $ 個の $ k $ 個の部品が共通の応力を超える確率である多成分応力・強度信頼性 $ R_{s;k} $ を推定する。
• 尺度母数 $ \theta $ が既知の場合の最尤推定（MLE）および一様最小分散不偏推定（UMVUE）を導出し、漸近的分布と信頼区間を提示する。
• 独立したガンマ事前分布を用い、平方損失関数およびLINEX損失関数の下でのベイズ推定を実施し、後方分布の計算にはリンデリー近似およびMCMC手法を用いる。
• ベイズ推定器の95%最高後方密度（HPD）区間を構築し、複数のブートストラップ信頼区間（百分位数、スチューデント化、バイアス補正）を用いて頑健な推論を実施する。
• さまざまなサンプルサイズおよび母数設定下での平均二乗誤差（MSE）、バイアス、およびカバレッジ確率を比較するためのシミュレーション研究を実施する。
• 電気絶縁性液体の破壊時間データセットを用いてモデルを検証し、コルモゴロフ＝スミルノフ検定によりパレート分布への適合を確認し、上位記録値に基づいて推定器を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上位記録値を用いた場合、パレート分布に従う強度と応力の多成分応力・強度信頼性を推定するにあたり、MLE、ベイズ、UMVUEといった異なる推定器の性能はいかがなものか。
• RQ2 バイアスおよびMSEの観点から、平方損失関数およびLINEX損失関数の下でのベイズ推定器は、MLEおよびUMVUEに比べて相対的にどの程度優れているか。
• RQ3 ブートストラップ信頼区間およびHPD区間は、さまざまなサンプルサイズおよび母数設定下で真の信頼性値をどれほど的確に捉えられるか。
• RQ4 尺度母数 $ \theta $ が既知か未知かによって、信頼性推定の正確性および精度にどのような影響が生じるか。
• RQ5 本稿で提案する手法は、電気絶縁性液体の破壊時間といった実世界の信頼性データに効果的に適用可能か。

主な発見

• MCMCを用いたLINEX損失関数の下でのベイズ推定器は、特に小標本および高い形状母数下で、最小のバイアスおよびMSEを示した。
• 尺度母数 $ \theta $ が既知の場合、$ \alpha_1 $ および $ \alpha_2 $ が大きい場合には、UMVUEがMSEの観点でMLEよりも一貫して優れていた。
• ブートストラップの百分位数およびバイアス補正区間は、特に小標本下で漸近的区間よりも高いカバレッジ確率を示した。
• HPD区間は、ベイズ推定器に対してより狭く、より正確なカバレッジを提供した。実データ例では95%区間が (0.68, 0.99) であった。
• 実データ応用において、MLEによる $ R_{2;4} $ の推定値は 0.9105 であったが、SEL下でのMCMCベースのベイズ推定器は 0.8813 であった。これは不確実性下でのロバストネスを示している。
• シミュレーション結果から、サンプルサイズが増加する（例：10から20に）に伴い、すべての推定器のMSEが低下し、特にベイズ推定器が真の値に速やかに収束することが示された。