[論文レビュー] Multicore Homology via Mayer Vietoris

Ryan H. Lewis, Afra Zomorodian|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、マーヤ＝ヴィエトリス原理を用いて、大規模なセル複体の持続的ホモロジーを計算する2つの並列アルゴリズムを提示する。複体はグラフ分割を用いて重なりを有する部分空間に分解され、部分複体とその交差を整理するためのマーヤ＝ヴィエトリス吹き出し複体が構築される。各部分に対して並列にホモロジーを計算し、結果を直列に接合する。11コアを用いて4600万個の単体を有する10次元複体に対して、最大8倍の高速化を達成し、マルチコアシステムにおける強力なスケーラビリティを示している。

ABSTRACT

In this work we investigate the parallel computation of homology using the Mayer-Vietoris principle. We present a two stage approach for parallelizing persistence. In the first stage, we produce a cover of the input cell complex by overlapping subspaces. In the second stage, we use this cover to build the Mayer-Vietoris blowup complex, a topological space, which organizes the various subspaces needed for employing the Mayer-Vietoris principle. Next, we compute the homology of each subspace in the blowup complex in parallel and then glue these results together in serial. We show how to use the persistence algorithm to organize these computations. In the first stage, any algorithm can be used to produce a cover of the input complex. We describe an algorithm for producing a cover of a space with a simple structure and bounded overlap based on graph partitions. Additionally, we present a simplistic model for the problem of finding covers appropriate for parallel algorithms and show that finding such covers is NP-Hard. Finally, we present a second parallel homology algorithm. This algorithm avoids the explicit construction of the blowup complex saving space. We implement our algorithms for multicore computers, and compare them against each other as well as existing serial and parallel algorithms with a suite of experiments. We achieve roughly 8x speedup of the homology computations on a 10-dimensional complex with about 46 million simplices using 11 cores.

研究の動機と目的

• マルチコア共有メモリマシン上で持続的ホモロジーを計算するスケーラブルな並列アルゴリズムの開発。
• 効率的な分解と再構成のため、マーヤ＝ヴィエトリススペクトル系列を活用すること。
• 知的なカバー生成と吹き出し複体構築により、メモリオーバーヘッドを最小限に抑え、スケーラビリティを向上させること。
• 大規模な位相的データに対して、既存のシングルスレッドおよび並列アルゴリズムと比較して性能を評価すること。
• カバー生成の理論的難易度を調査し、実世界での利用を想定した実用的ヒューリスティクスを提供すること。

提案手法

• 入力セル複体のカバーを、重なりが限定的で構造が単純になるように、グラフ分割を用いて生成する。
• 部分複体とその交差を符号化するマーヤ＝ヴィエトリス吹き出し複体を構築し、体系的なホモロジー計算を可能にする。
• 各部分複体のホモロジーを、吹き出し複体内の各部分で並列に、持続的ホモロジーアルゴリズムを用いて計算する。
• マーヤ＝ヴィエトリス完全系列を用いて、結果を直列に接合し、グローバルホモロジーを回復する。
• 明示的な吹き出し複体構築を回避することでメモリ使用量を削減する、第二の空間最適化アルゴリズムを導入する。
• フィルトレーションに基づくアプローチを採用し、並列化された削減を可能にしながら、持続的ホモロジーの同等性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーヤ＝ヴィエトリス原理は、マルチコアアーキテクチャ上でホモロジー計算を並列化するために効果的に適用可能か？
• RQ2 並列ホモロジーのための最適なカバーを求める計算複雑度は何か？また、これは実行可能か？
• RQ3 提案されたアルゴリズムの実用的性能は、既存のシングルスレッドおよび並列手法と比較してどの程度か？
• RQ4 明示的な吹き出し複体構築を回避することで、メモリ使用量を著しく削減できるか？性能に影響は出ないか？
• RQ5 マーヤ＝ヴィエトリスフレームワークは、フィルタード複体における持続的ホモロジーを保持するように、どの程度拡張可能か？

主な発見

• 提案されたマルチコアホモロジー計算アルゴリズムは、11コアを用いて10次元複体（4600万個の単体）に対して約8倍の高速化を達成した。
• ヒューリスティクスに基づくカバー生成法は、11コアで約77%の効率を達成し、強力なスケーラビリティを示した。
• 明示的な吹き出し複体構築を回避するアルゴリズムは、標準的手法と比較して、顕著にメモリ使用量を削減した。
• マーヤ＝ヴィエトリス吹き出し複体により、並列部分複体計算からのグローバルホモロジーの正確な再構成が可能になった。
• スペクトル系列に基づくアプローチにより、境界行列の並列削減が可能になりながら、持続的ホモロジー構造を保持した。
• 本研究では、並列ホモロジーのための最適なカバーを求める問題がNP困難であることが示され、実用的ヒューリスティクスの使用が正当化された。