[論文レビュー] Multidimensional delta-shock waves and the transportation and concentration processes

V. M. Shelkovich|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、保存則系における多次元的 $δ$-ショック波解の厳密な数学的枠組みを提示し、曲線的 $δ$-ショック波に対するランキン＝ユゴニオ条件を導出し、質量および運動量輸送と凝集過程との関連を確立する。主な貢献は、エネルギー非増加的挙動および零圧力ガス力学における運動的自己重力および次元的分岐現象を記述する $δ$-ショック波のバランス法則の導出にある。

ABSTRACT

{\it $δ$-Shock wave type solutions} in the multidimensional system of conservation laws $$ ρ_t + abla\cdot(ρF(U))=0, \qquad (ρU)_t + abla\cdot(ρN(U))=0, \quad x\in \bR^n, $$ are studied, where $F=(F_j)$ is a given vector field, $N=(N_{jk})$ is a given tensor field, $F_j, N_{kj}:\bR^n o \bR$, $j,k=1,...,n$; $ρ(x,t)\in \bR$, $U(x,t)\in \bR^n$. The well-known particular cases of this system are zero-pressure gas dynamics in a standard form $$ ρ_t + abla\cdot(ρU)=0, \quad (ρU)_t + abla\cdot(ρU\otimes U)=0, $$ and in the relativistic form $$ ρ_t + abla\cdot(ρC(U))=0, \quad (ρU)_t + abla\cdot(ρU\otimes C(U))=0, $$ where $C(U)=\frac{c_0U}{\sqrt{c_0^2+|U|^2}}$, $c_0$ is the speed of light. We introduce the integral identities which constitute definition of $δ$-shocks for the above systems and using this definition derive the Rankine--Hugoniot conditions for curvilinear $δ$-shocks. We show that $δ$-shocks are connected with {\em transportation processes and concentration processes} and derive the $δ$-shock balance laws describing mass and momentum transportation between the volume outside the wave front and the wave front. In the case of zero-pressure gas dynamics the transportation process is the concentration process. We also prove that energy of the volume outside the wave front and total energy are {\em nonincreasing quantities}. The possibility of the {\em effect of kinematic self-gravitation} and the {\em effect of dimensional bifurcations of $δ$-shock} in zero-pressure gas dynamics are discussed.

研究の動機と目的

• 古典的弱解を超える多次元的保存則系における $δ$-ショック波解の定義および厳密な定式化を目的とする。
• 分布的微分と表面積分に基づく積分的恒等式を用いて、曲線的 $δ$-ショック波のランキン＝ユゴニオ条件を導出する。
• $δ$-ショック波を質量および運動量の輸送と凝集過程の担い手としての物理的解釈を確立する。
• $δ$-ショック波ダイナミクスの文脈において、エネルギー保存および全エネルギーの非増加的挙動を分析する。
• 零圧力ガス力学における運動的自己重力および次元的分岐現象のような新しい現象を探索する。

提案手法

• 移動する超曲面上のデルタ測度を用いた分布的枠組みを導入し、多次元的保存則における $δ$-ショック解を定義する。
• 波面 $\Gamma = \{S(x,t) = 0\}$ に制限されたテスト関数を含む積分的恒等式を導出し、系の弱形式化を可能にする。
• 平均曲率および法線速度を組み込んだ、随伴作用素 $\delta^*/\delta t = \delta/\delta t + \nabla_{\Gamma_t} \cdot (eG\nu)$ を用いた、移動表面における部分積分を適用する。
• 表面輸送定理を用いて、移動表面 $\Gamma_t$ における積分の時間発展法則を導出し、フラックスおよび曲率項と関連付ける。
• 理論を零圧力ガス力学および相対論的系に適用し、古典的ショック解が存在しないリーマン問題において $δ$-ショック波が自然に出現することを示す。
• 体積と波面間の質量および運動量輸送のバランス法則を導出し、エネルギーの非増加的挙動を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動する超曲面上に特異的台を持つ多次元的保存則系における $δ$-ショック波解を、どのように厳密に定義できるか？
• RQ2 曲線的 $δ$-ショック波の一般化されたランキン＝ユゴニオ条件は何か？ そして、古典的ショック条件とはどのように異なるか？
• RQ3 $δ$-ショック波は、質量および運動量の輸送と凝集過程において、どのように関連しているか？
• RQ4 $δ$-ショック系における全エネルギーは非増加的であり続け、その背後にある物理的メカニズムは何か？
• RQ5 零圧力ガス力学における $δ$-ショック波解において、運動的自己重力および次元的分岐現象が出現しうるか？

主な発見

• 本稿は、波面に制限されたテスト関数と表面測度を含む積分的恒等式を用いて、$δ$-ショック解の新たな定義を確立する。
• ランキン＝ユゴニオ条件は、随伴作用素 $\delta^*/\delta t$ を用いて表現され、平均曲率および法線速度が組み込まれている。
• $δ$-ショック波のバランス法則は、体積から波面への質量および運動量の輸送を記述し、波面が吸収源または供給源として機能することを示す。
• 零圧力ガス力学において、輸送過程は質量がショック波面に蓄積する凝集過程に簡略化される。
• 波面外部の体積内のエネルギーおよび全エネルギーが時間とともに非増加的であることが証明され、散逸を示している。
• 本稿は、$δ$-ショック波解において運動的自己重力および次元的分岐現象の可能性を同定し、多次元的保存則における新しい非線形現象の可能性を示唆している。