[論文レビュー] Multidimensional Gravity with Einstein Internal Spaces

В. Д. Иващук, V. N. Melnikov|ArXiv.org|Dec 5, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、内部次元としてのアインシュタイン空間を有する多次元重力モデルを調査し、$N_0 = 3,4,6$（全次元数 $D=11,10,11$）における球対称な真空中解に焦点を当てている。$\sigma$-モデルの定式化を用いて正確な解を導出し、非ユークリッド的符号型では $\mathbb{R}^{N_0}$ 内の超球面上でリーマンテンソルの二乗が発散することを証明しており、曲率特異性を示している。

ABSTRACT

A multidimensional gravitational model on the manifold $M = M_0 imes \prod_{i=1}^{n} M_i$, where M_i are Einstein spaces ($i \geq 1$), is studied. For $N_0 = dim M_0 > 2$ the $σ$ model representation is considered and it is shown that the corresponding Euclidean Toda-like system does not satisfy the Adler-van-Moerbeke criterion. For $M_0 = R^{N_0}$, $N_0 = 3, 4, 6$ (and the total dimension $D = dim M = 11, 10, 11$, respectively) nonsingular spherically symmetric solutions to vacuum Einstein equations are obtained and their generalizations to arbitrary signatures are considered. It is proved that for a non-Euclidean signature the Riemann tensor squared of the solutions diverges on certain hypersurfaces in $R^{N_0}$.

研究の動機と目的

• 内部次元 $M_i$ がアインシュタイン空間である $M_0 \times \prod_{i=1}^n M_i$ 構造を有する多次元重力モデルを研究すること。
• 特定の $N_0$ および全次元数 $D=11,10,11$ に対して、非特異な球対称真空中解を正確に導出すること。
• 任意の符号型におけるリーマンテンソルの二乗の挙動を分析し、特に非ユークリッド的場合における発散を特定すること。
• ユークリッド的符号型を超えて解を一般化し、曲率特異性を検討すること。

提案手法

• $M = M_0 \times \prod_{i=1}^n M_i$ の多様体上に、$M_0$ 上のスケール因子 $\gamma, \phi^i$ を含むワーピング積度量を用いてモデルを定式化すること。
• 宇宙定数を含むアインシュタイン＝ヒルベルト作用から場の運動方程式を導出し、$M_0$ 上の有効方程式を得ること。
• $N_0 > 2$ の場合に $\sigma$-モデル表現を用い、相互作用ポテンシャルがアドラー＝ヴァン・モアベーケーの可積分性基準を満たさないことを示すこと。
• ミディスプーパーメトリクスの計量を対角化し、より明示的な $\sigma$-モデル形式を導出すること。
• $M_0 = \mathbb{R}^{N_0}$ の場合に、一般化されたトーダ型系を用いて $N_0 = 3,4,6$ の正確な解を構成すること。
• リーマンテンソルの二乗 $I[g]$ を明示的に計算し、非ユークリッド的符号型における発散構造を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン内部空間を有する多次元重力理論において、$N_0 = 3,4,6$ の場合に非特異な球対称真空中解を構成できるか？
• RQ2 $N_0$ 次元計量の非ユークリッド的符号型の場合、$\mathbb{R}^{N_0}$ 内の超曲面上でリーマンテンソルの二乗が発散するか？
• RQ3 $N_0 > 2$ の場合に、$\sigma$-モデル定式化から生じるトーダ型系がアドラー＝ヴァン・モアベーケー基準を満たすか？
• RQ4 解は $M_0$ 計量の任意の符号型に一般化可能か？
• RQ5 特に $I[g] = R_{MNPQ}R^{MNPQ}$ のような曲率不変量の挙動は非ユークリッド的場合にどうなるか？

主な発見

• 全次元数 $D=11,10,11$ に対応する $M_0 = \mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^4$, $\mathbb{R}^6$ に対して、正確で非特異な球対称解が得られた。
• 非ユークリッド的符号型の $N_0$ 次元計量の場合、$\mathbb{R}^{N_0}$ 内の一般化された超球面上でリーマンテンソルの二乗 $I[g]$ が発散する。
• $N_0 > 2$ の場合、$\sigma$-モデル表現のポテンシャルはアドラー＝ヴァン・モアベーケーの可積分性基準を満たさず、非可積分性を示している。
• 解は任意の符号型に一般化され、非ユークリッド的場合に $I[g]$ の発散が $\mathbb{R}^{N_0}$ 内の超曲面上で生じることを証明した。
• モデルの枠組み内で物理的例としてデ de-Sitter メンブレン解が提案された。
• このモデルは10次元超弦理論重力に対して1つの正確な解を、11次元超重力およびM理論に対して2つの正確な解をもたらした。