[論文レビュー] Multidimensional Markov FBSDEs with superquadratic growth

Michael Kupper, Peng Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、制御変数Zにおける生成関数が超二次的成長を示す多次元マルコフ型前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）について、局所的および大域的解の存在と一意性を確立する。アプローチは、制御過程のバウンディングにマリヤン・微積分を用い、局所解を大域解に拡張するための貼り合わせ技術を組み合わせるものであり、係数に関する非退化性および正則性条件の下で、Zにおける任意の成長を伴う結合的・多次元ケースに先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We give local and global existence and uniqueness results for systems of coupled FBSDEs in the multidimensional setting and with generators allowed to grow arbitrarily fast in the control variable. Our results are based on Malliavin calculus arguments and pasting techniques.

研究の動機と目的

• 制御変数Zにおける生成関数が二次より速く成長する結合的・多次元FBSDEについて、適切な解の存在に関する結果が不足しているという問題に対処すること。
• 一次元FBSDEの超二次的成長に関する既存の局所的可解性結果を、多次元ケースに拡張すること。
• 係数に関する非退化性および正則性条件の下で、このような系に対する大域的解を構築すること。
• 非マルコフ的設定や強いマリヤン微分条件を課した確率的拡散係数を含む状況へ拡張可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 局所リプシッツ生成関数に対して、制御過程Zの一様バウンディングを導くためにマリヤン微積分を用い、切り捨ての議論を可能にする。
• 適切なバナッハ空間におけるピカール反復スキームを用いて、局所的解の存在と一意性を証明し、マリヤン微積分によるZの有界性に依存する。
• 時間区間を小さな区間に分割し、局所解を貼り合わせる手続きを用いて、全時間区間Tにわたる大域的解に拡張する。
• マルコフ型FBSDEのPDE表現（Delarue [7] によるもの）を用い、確率的系と放物型PDEを結びつけることで、大域的解の構築を容易にする。
• 生成関数gが対角成分で二次関数以下に成長すること、およびボラティリティσの非退化性を仮定することで、可解性を保証する条件を課す。
• リプシッツケースにおいて、Yのマリヤン微分のトレースがZのバージョンであるという事実に依拠し、有界性の議論を用いて超二次的成長に対応する拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御変数Zにおける生成関数が超二次的成長を示す結合的多次元FBSDE系が、どのような条件下で一意解をもつか。
• RQ2 一次元FBSDEに用いられるマリヤン微積分技法を、多次元ケースにおける制御過程Zの有界性の証明に拡張可能か。
• RQ3 局所解をどのように貼り合わせることで、超二次的生成関数をもつFBSDEのための大域的解が得られるか。
• RQ4 ボラティリティσの非退化性が、このような系の大域的可解性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 マルコフ型フレームワークを、非マルコフ的設定や確率的拡散係数設定にどの程度まで一般化可能か。

主な発見

• 時間区間が十分に小さく、マリヤン微積分によるZの一様有界性が保証される限り、(X,Y)に関して局所リプシッツでZに関しても局所リプシッツな生成関数をもつ多次元マルコフ型FBSDEに対して、一意な局所解が存在する。
• 生成関数gが対角成分で二次関数以下に成長し、ボラティリティσが非退化であるという仮定の下で、大域的解の存在と一意性が確立される。
• 制御過程Zは、問題のパラメータに依存する定数M̄によって一様に有界であり、これが切り捨ておよびバナッハ空間におけるピカール反復の適用を可能にする。
• 解はS²(ℝᵐ) × S∞(ℝˡ) × S∞(ℝˡ×ᵈ)の空間に属し、パスワイズな正則性と可積分性を保証する。
• 貼り合わせ技術により、解の局所解を、リプシッツおよび成長パラメータに依存する定数に比例する長さの区間で連結することで、全時間区間における大域的解が構成可能である。
• Luoの博士論文に詳細に示されるように、gおよびhに関するより強いマリヤン微分条件を課すことで、結果は非マルコフ的設定および確率的拡散係数設定へ拡張可能である。