[論文レビュー] Multidimensional polynomial Euler products and infinitely divisible distributions on R^d

Takahiro Aoyama, Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一変数のゼータに基づくオイラー積の一般化として、多次元多項式オイラー積を導入し、ℝ^d 上の無限可除分布の特性関数を生成するための必要十分条件を確立する。著者らは、クロネッカーの近似定理と対数の線形形式に関するバーカーの定理を応用し、特に化合物ポアソン型ゼータ分布の無限可除性に関する基準を導出する。

ABSTRACT

It is known to be difficult to find out whether a certain multivariable function to be a characteristic function when its corresponding measure is not tirivial to be or not to be a probability measure on R^d. Such results were not obtained for a long while. In this paper, multidimensional polynomial Euler product is defined as a generalization of the polynomial Euler product. By applying the Kronecker's approximation theorem, a necessary and sufficient condition for some polynomial Euler products to generate characteristic functions is given. Furthermore, by using the Baker's theorem, that of some multidimensional polynomial Euler products is also given. As one of the most important properties of probability distributions, the infinite divisibility of them is studied as well.

研究の動機と目的

• 一変数ゼータ分布およびオイラー積の理論を高次元へ拡張すること。
• 多次元多項式オイラー積がℝ^d 上で有効な特性関数を生成する条件を特定すること。
• このような積が無限可除分布に対応するための必要十分条件を確立すること。
• 解析的数論の道具を用いて多次元ゼータ型分布の無限可除性を分析すること。
• 特定の多変数関数が確率測度の特性関数であるかどうかを検証する困難さに対処すること。

提案手法

• ℤ^d における素数上の古典的オイラー積の一般化として、多次元多項式オイラー積を定義すること。
• 指数和の1を法とする稠密性を分析するためにクロネッカーの近似定理を適用し、生成関数の零点なし領域を特徴付ける上で重要な役割を果たす。
• 対数の線形形式に関するバーカーの定理を用いて超越的性質を確立し、特性関数に非自明な零点が存在しないことを排除する。
• 素因数分解と対数スケーリングを用いてレヴィ測度を構成し、化合物ポアソン型分布のレヴィ＝キンチンの三つ組を表現する。
• 積の対数の実部を分析し、それが(e^{i⟨t,x⟩} - 1)に対する積分によってレヴィ測度として表現可能かどうかを判定する。
• 漸近的推定と収束の議論を用いて、無限積および級数表現における尾部寄与を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元多項式オイラー積がℝ^d 上の特性関数であるための条件は何か？
• RQ2 多次元多項式オイラー積が無限可除分布を生成するのはいつか？
• RQ3 クロネッカーの近似定理をどのように用いることで、多次元特性関数に零点が存在しないことを示せるか？
• RQ4 バーカーの定理（対数の線形形式に関する）が、関数が特性関数でないことを検証するのにどのように役立つか？
• RQ5 ゼータ関数とディリクレL関数を多次元積に組み合わせることで、有効な無限可除分布が得られるか？

主な発見

• クロネッカーの近似定理を用いて、多次元多項式オイラー積が特性関数を生成するための必要十分条件が導出された。
• 特定のクラスの多次元多項式オイラー積に対して、バーカーの定理を適用し、その対数の実部が特定の算術的構造を持つ非ゼロ値を取る場合には、積が特性関数にはなり得ないことが示された。
• σ > 1 に対して、ζ(2σ + 2it)L(σ + it)ζ(2σ)^{-1}L(σ)^{-1} は特性関数でないことが示された。これは、ある t₀ においてその対数の実部が正になることによる。
• f_σ(t) = ζ(σ + it)^2 L(2σ + 2it) は、ℝ 上の有限レヴィ測度 N_σ を明示的に構成することにより、化合物ポアソンの特性関数（従って無限可除）であることが証明された。
• レヴィ測度 N_σ は、二次剰余に関連する算術関数から得られる係数を有する、素数の対数のべき乗におけるディラック質量の和として明示的に構成された。
• 解析により、多次元ゼータ分布の無限可除性が、基礎となる素因数分解の算術的構造および素数上での指数和の振る舞いに強く依存することが確認された。