[論文レビュー] Multidimensional quadratic BSDEs with separated generators

Asgar Jamneshan, Michael Kupper+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2014

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、制御過程にのみ依存する項と、全状態に依存する項に分解される生成関数を備えた多次元二次バックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立する。Lyapunov関数 $ u(\gamma,x) = \frac{1}{(2\gamma)^2}(e^{2\gamma x} - 1 - 2\gamma x) $ とBMO martingale技法を用いて、二次的成長係数と終端条件の大きさに依存する十分条件を導出し、有界および非有界の終端条件の両方に対して一意なBMO解が存在することを示した。従来の結果を非有界な終端条件へと拡張した。

ABSTRACT

We consider multidimensional quadratic BSDEs with bounded and unbounded terminal conditions. We provide sufficient conditions which guarantee existence and uniqueness of solutions. In particular, these conditions are satisfied if the terminal condition or the dependence in the system are small enough.

研究の動機と目的

• 制御変数における二次的成長を示す生成関数を有する多次元二次BSDEに対して、一般の存在理論が欠如していることに対処する。
• 特に、非有界な終端条件を有する場合の可解性結果を有界な場合よりも困難な状況にまで拡張する。
• 分離生成関数構造下で、BMO解の存在および一意性を保証する十分条件を提供する。
• Tevzadze、KramkovおよびPulido、HuおよびTangの先行研究を一般化し、有界および非有界の両方の終端条件を含む枠組みを構築する。

提案手法

• 著者らは、解が分解された1次元BSDEの固定点であるような写像 $ I $ を用いて、連立系を固定点問題として定式化する。
• 解の成長を制御し、事前推定を得るために、Lyapunov関数 $ u(\gamma,x) = \frac{1}{(2\gamma)^2}(e^{2\gamma x} - 1 - 2\gamma x) $ を用いる。
• BMO martingale理論とJohn-Nirenberg不等式を用いて、指数モーメントを制御し、可積分性を保証する。
• 生成関数は $ g^i(s,z) = f^i(s,z^i) + h^i(s,z) $ と分解され、対角項と混合依存項を別々に取り扱えるようにする。
• Itôの公式と関数 $ u $ の性質を用いて、$ \|Z \cdot W\|_{BMO} $ の事前推定を導出し、一意性のための十分条件に至る。
• パラメータ $ \theta_i $, $ \vartheta_i $, $ \xi^i $ の大きさ制約を調整することにより、有界および非有界の両方の終端条件を扱えるフレームワークを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離生成関数を有する多次元二次BSDEが、どのような条件下で一意なBMO解を有するか。
• RQ2 終端条件が非有界である場合に、どのように可解性を保証できるか。
• RQ3 二次的成長の下で、解の成長を制御するためにLyapunov関数 $ u(\gamma,x) $ が果たす役割は何か。
• RQ4 生成関数が個々の成分だけでなく、全制御過程に依存する系に対しても、結果を拡張可能か。
• RQ5 可解性のための、二次的成長係数 $ \theta_i $, $ \vartheta_i $ と終端条件 $ \xi^i $ の大きさとの間の正確な相互作用条件は何か。

主な発見

• 二次的成長係数 $ \theta_i $, $ \vartheta_i $ および終端条件 $ \xi^i $ が条件 (4)–(5) を満たす場合、一意なBMO解が存在する。これらの条件は定理2.3で明示的に導出されている。
• $ \theta_i = 0 $ の場合、条件は終端条件 $ \xi^i $ が十分に小さいことを要請するに過ぎず、Tevzadzeの結果が回復される。
• 任意の $ \theta_i $ および $ \xi^i $ に対して、$ \vartheta_i $ が十分に小さい限り、条件は常に満たされ、グローバル可解性が保証される。
• 非有界な終端条件の場合、定理2.6は、同一のLyapunov関数とBMO推定を用いて、類似の十分条件を提供する。
• 推定式 $ \|Z \cdot W\|_{BMO} \leq \left(\frac{1}{1-16\gamma\|v\cdot W\|_{BMO}} + \frac{1}{1-4\gamma\|z\cdot W\|^{2}_{BMO}}\right)\|v\cdot W\|^{2}_{BMO} $ により、導出された条件下でBMOノルムが有限であることが保証される。
• この手法により、$ |Y_t| $ の事前推定、例えば $ |Y_t| \leq \frac{1}{2\gamma}\log\left(\frac{E[e^{2\gamma|\xi|}|\mathcal{F}_t]}{1-2\gamma\|z\cdot W\|^{2}_{BMO}}\right) $ が得られ、存在および一意性の証明に不可欠である。