[論文レビュー] Multidimensional stochastic Burgers equation

Zdzisław Brzeźniak, Beniamin Gołdys+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、トーラス $\mathbb{T}^d$ および $\mathbb{R}^d$ 上で、一般の初期データおよびノイズのもとで、$p > d$ における $L^p$ 空間内に多変数確率的 Burgers 方程式の強大域解の存在および一意性を確立する。可撓性 $\nu > 0$ における一様事前推定値を導出し、特に渦度に関する Beale-Kato-Majda 型条件のもとで、ポテンシャル（勾配）初期データおよび力に対する可撓性消失極限の存在を証明する。

ABSTRACT

We consider multidimensional stochastic Burgers equation on the torus $\mathbb{T}^d$ and the whole space $\Rd$. In both cases we show that for positive viscosity $ u>0$ there exists a unique strong global solution in $L^p$ for $p>d$. In the case of torus we also establish a uniform in $ u$ a priori estimate and consider a limit $ u odown 0$ for potential solutions. In the case of $\Rd$ uniform with respect to $ u$ a priori estimate established if a Beale-Kato-Majda type condition is satisfied.

研究の動機と目的

• 多変数確率的 Burgers 方程式が $L^p$ 空間 ($p > d$) 内に大域的強解の存在および一意性を確立すること。
• トーラス $\mathbb{T}^d$ および $\mathbb{R}^d$ 上で、可撓性 $\nu > 0$ における一様事前推定値を導出し、特に渦度に関する Beale-Kato-Majda 型条件のもとで行うこと。
• ポテンシャル（勾配）初期データおよび力に対する可撓性消失極限 $\nu \downarrow 0$ を調べ、非粘性方程式の粘性解への収束を証明すること。
• 確定的および1次元確率的 Burgers 方程式に関する先行結果を、乗法的ノイズを伴う多変数かつ勾配でない場合に拡張すること。
• 最小限の仮定のもとで、確率的力学系の構築およびソリューションの Sobolev 空間および Lebesgue 空間における特徴付けのための枠組みを提供すること。

提案手法

• 局所的解の存在および一意性を保証する Weissler のアプローチに従い、$\mathcal{O} = \mathbb{T}^d$ または $\mathbb{R}^d$ における $L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$ 内の弱解表現を用いる。
• 最大原理を用いて局所解の事前推定値を導出し、これを大域解へと拡張する。
• 可撓性 $\nu$ における一様推定値を、$\operatorname{curl} u \in L^\infty(0,T; L^\infty)$ および正の時刻における $\operatorname{div} u \in L^\infty$ を含む修正された Beale-Kato-Majda 型条件を用いて導出する。
• 非線形項および確率的項を制御するため、$L^p$ ノルムにおける確率的微積分および Itô の公式を用い、特に Itô の補正項の利用を行う。
• Gronwall の補題を用いて、時間経過に伴う解の $L^p$ ノルムの増大を制御する。
• 勾配の場合に Hopf-Cole 変換を用いて Hamilton-Jacobi 方程式に還元し、$H^{1,p}$ 内の粘性解の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数確率的 Burgers 方程式が、$p > d$ における $L^p$ 内に一意の大域的強解を有するための条件は何か？
• RQ2 $\mathbb{R}^d$ 上で勾配構造を仮定しない可撓性 $\nu > 0$ における一様事前推定値を確立できるか？
• RQ3 $\mathbb{T}^d$ および $\mathbb{R}^d$ 上で、解に対する可撓性消失極限 $\nu \downarrow 0$ の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 渦度および発散に関する Beale-Kato-Majda 型条件が、確率的設定における解の大域的存在とどのように関係するか？
• RQ5 勾配の場合に解が粘性解として特徴付けられるか？また、収束は $\nu$ に関して一様か？

主な発見

• 任意の初期条件 $u_0 \in L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$ ($p > d$) に対して、$\mathcal{O} = \mathbb{T}^d$ または $\mathbb{R}^d$ のもとで、可撓性 $\nu > 0$ を持つ確率的 Burgers 方程式に大域的強解が一意に存在する。
• $\mathbb{T}^d$ 上では、可撓性 $\nu$ における一様事前推定値が確立され、任意の $u_0 \in L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$ に対して可撓性消失極限の存在を示す。
• $\mathbb{R}^d$ 上では、渦度 $\operatorname{curl} u$ が $L^\infty(0,T; L^\infty)$ に有界であり、ある $t_0 > 0$ で $\operatorname{div} u$ が有界である場合、可撓性 $\nu$ における一様推定値が成り立つ。これは Beale-Kato-Majda 条件を確率的状況に一般化したものである。
• 勾配の場合（$u_0 = \nabla \psi_0$, $f = \nabla U$, ノイズ $\nabla V$）では、解 $u$ は関数 $\psi$ の勾配となり、方程式は確率的 Hamilton-Jacobi 方程式に簡略化される。
• 非確率的 $\psi_0, U, V$ に対して、粘性 Hamilton-Jacobi 方程式の解 $\psi^\nu$ は $\nu$ に関して一様推定値を満たし、$\nu \downarrow 0$ の極限で非粘性方程式の一意な粘性解 $\psi$ が存在する。
• 収束 $\psi^\nu \to \psi$ は、空間および時間においてほとんど確実に局所的に一様であり、解 $\psi$ は $\nu$ に関して一様に推定式 (5.5) および (5.6) を満たす。