[論文レビュー] Multifractal analysis for multimodal maps

Mike Todd|ArXiv.org|Sep 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 50被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、ホーブアウアー塔に基づく誘導スキームを用いて、臨界点をもつマルチモーダル区間写像の多重フラクタル解析を展開する。臨界軌道がこれらのスキームによって十分に捉えられることを示すことにより、ホーラー潜在関数の平衡状態について、次元スペクトルとリャプノフスペクトルを確立する。コールェット＝エーケマン条件の下で最良の結果が得られる。

ABSTRACT

Given a multimodal interval map $f:I o I$ and a Hölder potential $ϕ:I o \mathbb{R}$, we study the dimension spectrum for equilibrium states of $ϕ$. The main tool here is inducing schemes, used to overcome the presence of critical points. The key issue is to show that enough points are `seen' by a class of inducing schemes. We also compute the Lyapunov spectrum. We obtain the strongest results when $f$ is a Collet-Eckmann map, but our analysis also holds for maps satisfying much weaker growth conditions.

研究の動機と目的

• 標準的なマルコフ符号化が非一様的双曲性のため失敗する、臨界点をもつマルチモーダル区間写像への多重フラクタル解析の拡張。
• 臨界軌道が稠密な場合、標準的な誘導スキーム（例えば、初戻り写像）が位相空間の顕著な部分を欠くという課題に対処する。
• 大リャプノフ指数をもつ点を十分にカバーするよう保証する、ホーブアウアー塔に基づく誘導スキームを用いたフレームワークの構築。
• このような写像におけるホーラー潜在関数の平衡状態の次元スペクトルとリャプノフスペクトルの計算。
• 平衡測度と自己同型測度間のラドン＝ニコディム微分の均一な有界性の確立により、可算マルコフシフトにおける熱力学的形式主義の適用を可能にする。

提案手法

• ポイントワイズリャプノフ指数が大きい点を捉えるために、ホーブアウアー塔（マルコフ拡張）を用いて誘導スキームを構築する。
• タイプAおよびタイプBの誘導スキームを適用し、可算マルコフシフトにおける熱力学的形式主義と整合性を保つ。
• 圧力関数を用いた conformal 測度および平衡状態の理論を用い、誘導潜在関数が $ P(\tilde{\theta}) = 0 $ を満たすようにする。
• カックの補題とホーラー連続性を用いて、分割関数 $ Z_0(\tilde{\theta}) $ を評価し、圧力の収束を保証する。
• 誘導測度との比較により、密度 $ \frac{d\mu_\varphi}{dm_\varphi} $ に対する上界および下界の均一な有界性を確立する。
• イオミ（2009）の可算マルコフシフトにおける多重フラクタル解析の結果を応用し、次元スペクトル $ \mathcal{DS}_\varphi(\alpha) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なマルコフ符号化が失敗するマルチモーダル写像における、平衡状態の次元スペクトルが計算可能か。
• RQ2 稠密な臨界軌道がある中で、大リャプノフ指数をもつ点を十分に捉えるために、どのように誘導スキームを構築できるか。
• RQ3 誘導潜在関数が $ P(\Phi) = 0 $ を満たす条件は何か。これにより熱力学的形式主義が適用可能になる。
• RQ4 ラドン＝ニコディム微分 $ \frac{d\mu_\varphi}{dm_\varphi} $ と誘導測度 $ \mu_\Phi $ の関係は何か。また、これは一様に有界か。
• RQ5 ホーラー潜在関数下での系の多重フラクタル構造とリャプノフスペクトルの関係は何か。

主な発見

• ホーラー潜在関数の平衡状態に対して、次元スペクトル $ \mathcal{DS}_\varphi(\alpha) $ は適切に定義され、計算可能である。
• コールェット＝エーケマン写像では、多重フラクタル解析により最も強い結果が得られ、スペクトルの完全な正則性が得られる。
• 密度 $ \frac{d\mu_\varphi}{dm_\varphi} $ は上界および下界において一様に有界であり、元の系と誘導系との整合性が保証される。
• すべての誘導スキームが $ SCover^B(\varepsilon) $ に属する限り、誘導潜在関数 $ \Phi $ は $ P(\Phi) = 0 $ を満たし、熱力学的形式主義の適用が可能になる。
• 臨界軌道が弱い成長条件を満たす限り、誘導スキームが捉えない点の集合は測度の意味で無視できる。
• リャプノフスペクトルは同一の枠組みで計算可能であり、ゼロのリャプノフ指数をもつ点が誘導法では捉えられないという鍵となる洞察により、このアプローチの最適性が示唆される。