[論文レビュー] Multifractal Analysis of The New Level Sets

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、異なるliminfおよびlimsup Birkhoff平均に基づいて不規則集合をレベル集合に分割することにより、新しい多分岐解析フレームワークを導入する。ほぼ指定性の下で、これらの精錐化されたレベル集合の位相的エントロピーに対する変分原理を確立し、測度論的エントロピーの上界が所定の平均を持つ不変測度の上での上界によって決定されることを示し、古典的結果を不規則集合および混合正則・不規則集合へと拡張する。

ABSTRACT

By an appropriate definition, we divide the irregular set into level sets. Then we characterize the multifractal spectrum of these new pieces by calculating their entropies. We also compute the entropies of various intersections of the level sets of regular and irregular set which is rarely studied in the literature. Moreover, our conclusions also hold for the topological pressure. Finally, we consider the continuous case and use our results to give a description for the suspension flow.

研究の動機と目的

• 不規則集合の多分岐分解を、異なるliminfおよびlimsup Birkhoff平均に基づくレベル集合を導入することによって精錐化すること。
• これらの新しいレベル集合の位相的エントロピーを特徴づけること、特に正則集合と不規則集合の共通部分集合について。
• 懸垂フローを用いて連続系への変分原理の拡張を行うこと。
• レベル集合のエントロピーと不変測度との間の関係を、測度論的エントロピーの上界による上界の観点から確立すること。
• 指定性を厳密に拡張するほぼ指定性を有する系へ、古典的多分岐結果を一般化すること。

提案手法

• c ≤ d に対して、新しいレベル集合 $X_\varphi(c,d) = \{x \in X : \underline{\varphi}(x) = c, \overline{\varphi}(x) = d\}$ を定義し、空間を異なる下位および上位Birkhoff平均に基づいて分割する。
• ほぼ指定性を用いて軌道の接合が可能であることを保証し、所定のエルゴード平均を持つ測度の構成を可能にする。
• 位相的圧力の変分原理を適用し、レベル集合のエントロピーを、固定された平均値を持つ不変測度の上での $h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu$ の上界に関連付ける。
• 離散系の懸垂フローと連続フローとの間の同相性を、帰還時間のスケーリングを用いて確立する。
• 任意の $c \leq d$ に対して、$X_\varphi(c,d)$ が空でない限り、その位相的エントロピーは $\min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \}$ に等しいことを証明する。
• 異なる屋根関数を持つ懸垂フロー間の同相性を用いて、一般の場合を定数屋根関数の場合に還元し、エントロピー推定を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則集合を、異なるliminfおよびlimsup Birkhoff平均に基づくレベル集合にどのように精錐化できるか、そしてこれらの集合のエントロピーは何か？
• RQ2 正則集合 $R_{\varphi_1}(a)$ と不規則集合 $I_{\varphi_2}$ の共通部分集合の位相的エントロピーは何か、またそれはいつ空でないか？
• RQ3 ほぼ指定性の下で、これらの新しいレベル集合のエントロピーに対する変分原理を確立できるか？
• RQ4 これらの精錐化されたレベル集合の多分岐スペクトルは、不変測度およびそれらのエントロピーとどのように関係するか？
• RQ5 懸垂フローを用いて、連続時間系への結果の拡張は可能か？また、屋根関数はレベル集合のエントロピーにどのように影響するか？

主な発見

• 任意の連続関数 $\varphi_1, \varphi_2$ に対して、共通部分集合 $R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2}$ は全位相的エントロピーを有するか、または空集合である。
• $R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2} \neq \emptyset$ ならば、その位相的エントロピーは $\sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi_1 \, d\mu = a \}$ に等しくなる。これは古典的変分原理を混合正則・不規則集合へ拡張する。
• 任意の $c \leq d$ に対して、$X_\varphi(c,d)$ の位相的エントロピーは $\min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \}$ に等しくなる（集合が空でない場合に限る）。
• 重み付きBirkhoff平均に対するレベル集合 $X_{\varphi,\rho}(c,d)$ のエントロピーは、$P_{X_{\varphi,\rho}(c,d)}(\psi) = \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu : \frac{\int \varphi \, d\mu}{\int \rho \, d\mu} = \xi \}$ を満たす。
• 懸垂フローにおいて、レベル集合 $X^\rho_\Phi(\Psi,c,d)$ の位相的エントロピーは $\min_{\xi = c,d} \sup \{ h_{\mu_\rho}(T) : \int \Phi \, d\mu_\rho = \xi \}$ に等しい。ここで $\mu_\rho$ は、スパニングされた系上の誘導測度である。
• 結果は位相的圧力に対しても成り立ち、屋根関数が定数でない場合でさえ、懸垂フローにおけるレベル集合のエントロピーは同相性によって保存される。