[論文レビュー] Multifractal dynamics of stock markets

Dariusz Grech, Łukasz Czarnecki|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2009

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本研究は、先進国市場（S&P500）および新興国市場（WIG）の株価指数における多分岐的ダイナミクスを、多分岐的デトレンド型フラクタル解析（MF-DFA）を用いて調査する。非定常性、特にクラッシュやサブトレンドといった極端な出来事によって多分岐的スケーリングが歪められることを示し、このような出来事を除去することで、h(q)の単調性が回復し、f(α)スペクトルが拡大し、より明確な多分岐的構造が明らかになることを示している。

ABSTRACT

We present a comparative analysis of multifractal properties of financial time series built on stock indices from developing (WIG) and developed (S&P500) financial markets. It is shown how the multifractal image of the market is altered with the change of the length of time series and with the economic situation on the market. We emphasize that the proper adjustment of scaling range for multiscaling power laws is essential to obtain the multifractal image of time series. We analyze in this paper multifractal properties of real financial time series using Hölder $f(α)$ representation and multifractal-DFA method. It is also investigated how multifractal properties of stocks change with variety of "surgeries" done on the initial real financial time series. This way we reveal main phenomena on the market influencing its multifractal dynamics. In particular, we focus on examining how multifractal picture of real time series changes when one cuts off extreme events like crashes or rupture points, and how fluctuations around the main trend in time series influence the multifractal behavior of financial series in the long-time horizon for both developed and developing markets.

研究の動機と目的

• 先進国（S&P500）および新興国（WIG）市場からの金融時系列の多分岐的性質を比較すること。
• 時系列の長さおよび経済状況が観察される多分岐的構造に与える影響を調査すること。
• 極端な出来事および非定常性が多分岐的スケーリング行動に与える役割を特定すること。
• クラッシュやサブトレンドの除去といった「手術」が多スケーリング特性をどのように改善するかを評価すること。

提案手法

• 金融時系列からのq依存のハースト指数h(q)を計算するために、多分岐的デトレンド型フラクタル解析（MF-DFA）を用いた。
• h(q)から特異性スペクトルf(α)を導出するためにルジャンドル変換を用い、α = dh(q)/dqおよびs(q) = qh(q) - 1とした。
• q次のモーメントフラクチュエーション関数F_q(s)を適用して、小さな変動と大きな変動を強調し、多分岐的スケーリングの検出を可能にした。
• 非定常性が多分岐的構造に与える影響を分離するために、時系列をハイ・ボラティリティおよびロウ・ボラティリティのレジームに分割して分析した。
• 極端なリターン（例：クラッシュ）を除去することでデータに「手術」を施し、変更された時系列を生成した。
• 手術処理の前後で多分岐的スペクトルf(α)およびh(q)の挙動を比較し、スケーリングの改善を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S&P500およびWIG指数の多分岐的性質は、先進国市場と新興国市場でどのように異なるか？
• RQ2 金融時系列の長さが、観察される多分岐的スケーリングの信頼性にどの程度影響を及えるか？
• RQ3 市場クラッシュなどの極端な出来事が、多分岐的スペクトルf(α)およびh(q)関数にどのように歪めを及えるか？
• RQ4 非定常なサブトレンド（例：逆方向の動き）が金融指数の多分岐的構造に与える影響は何か？
• RQ5 極端な出来事を除去することで、h(q)の単調性と明確な放物型f(α)スペクトルが回復するか？

主な発見

• 有限長の金融時系列では、特に大きなqにおけるh(q)の推定に統計的制限があるため、人工的な多分岐的性質が現れる。
• S&P500指数全体の特異性スペクトルf(α)は非単調でねじれた形状を示しており、極端な出来事による非定常性の歪みを示している。
• S&P500を低ボラティリティおよび高ボラティリティのレジームに分割すると、両方のサブ期間とも単調なh(q)と逆方向の放物型f(α)スペクトルを示し、低ボラティリティレジームではスペクトルがより広がっている。
• 急激な出来事や逆方向のサブトレンド（「悪い」データ）を含む時系列は、非単調なh(q)と歪んだf(α)を示し、多スケーリング性能が低下している。
• 極端な出来事を「手術」で除去した後、h(q)関数は単調になり、f(α)スペクトルは著しく拡大し、明確な多分岐的構造が回復した。
• クラッシュを除去した後、f(α)スペクトルの幅が拡大し、多分岐的性質が強化されたことから、非定常性が真の多分岐的ダイナミクスを隠蔽していることが確認された。