[論文レビュー] Multifractal states in self-consistent theory of localization: analytical solution

B. L. Altshuler, L. B. Ioffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Fractal and DNA sequence analysis被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、局在化の自己無撞着理論における多分形状態の解析的解を提示し、複数のレプリカ対称性の破れを用いて、拡張エルゴード的（$D_1=1$）および非エルゴード的多分形（$0<D_1<1$）相を区別する。カベイティ方程式とレプリカ法を用いて、$D_1$ のフラクタル次元を導出し、非エルゴード的拡張相の存在と、ベーゼラティスおよびローゼンツヴァイグ＝ポーター確率的行列における拡張相間の一次転移の存在を証明する。

ABSTRACT

We consider disordered tight-binding models which Green's functions obey the self-consistent cavity equations . Based on these equations and the replica representation, we derive an analytical expression for the fractal dimension D_{1} that distinguishes between the extended ergodic, D_{1}=1, and extended non-ergodic (multifractal), 0

研究の動機と目的

• エルゴード的領域を超える不規則な量子系における非エルゴード的（多分形）状態の存在を確立すること。
• エルゴード的（$D_1=1$）と非エルゴード的（$0<D_1<1$）な拡張状態を区別するためのフラクタル次元 $D_1$ の解析的表現を導出すること。
• 自己無撞着局在化理論において、拡張エルゴード的相と拡張非エルゴード的相の間の一次転移の存在を証明すること。
• 無限大の接続性を持つ系、たとえばローゼンツヴァイグ＝ポーター確率的行列モデルへの解析的枠組みの拡張すること。
• レプリカ対称性の破れとカベイティ法を用いてアプローチを検証し、不規則性-エネルギー平面における相図を確認すること。

提案手法

• グリーン関数の自己無撞着カベイティ方程式を用いて、レプリカ表現によるフラクタル次元 $D_1$ を導出する。
• レプリカトリックを適用して、レプリカ対称性（エルゴード的）と1段階のレプリカ対称性の破れ（非エルゴード的）解を区別する。
• カベイティ深さ $\ell \to \infty$ の極限における鞍点近似を用いて、有効積分 $I_m$ を評価する。
• 有効分布 $F_{\rm eff}(\epsilon)$ と関数 $p(z)$ を導入し、逆グリーン関数の統計を記述する。
• 対称性関係 $p(z) = p(1/z)$ および $I_m = I_{1-m}$ を用いて、$F_{\rm eff}$ を明示的に用いずに重要な恒等式を証明する。
• 数値的に計算された $\tilde{I}_m$ と $I_m$ を比較することで、解析的結果を検証し、不規則性 $W$ の指数的広範囲にわたり2%以内の一致を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己無撞着局在化理論において、不規則系の非エルゴード的拡張相は存在するか？
• RQ2 エルゴード的および非エルゴード的拡張状態の遷移を特徴付けるフラクタル次元 $D_1$ の解析的表現は何か？
• RQ3 拡張エルゴード的相と拡張非エルゴード的相の間の転移は一次転移と分類可能であり、その性質は何か？
• RQ4 ベーゼラティスおよび無限大接続性系において、自己無撞着カベイティアプローチにおけるレプリカ対称性の破れ構造はどのようにして出現するか？
• RQ5 物理的内容を損なわずに、有効分布 $F_{\rm eff}(\epsilon)$ を関数 $p(z)$ に置き換える範囲はどの程度か？

主な発見

• 本稿は、ベーゼラティスにおいて、広範な不規則性強度およびエネルギー範囲で $0 < D_1 < 1$ の非エルゴード的拡張相の存在を証明する。
• 拡張エルゴード的相と拡張非エルゴード的相の間の転移が一次転移であることが示され、クロスオーバーではない。
• フラクタル次元 $D_1$ は、レプリカ対称性の破れを用いて解析的に導出され、$D_1 = 1$ はレプリカ対称解に対応する。
• ベーゼラティスにおける不規則性-エネルギー平面の相図が確立され、1段階のレプリカ対称性の破れを用いて2つの絶縁相が同定される。
• $p(z)$ を用いた $I_m$ の解析的表現は、$W$ の指数的広範囲にわたり、数値計算結果 $\tilde{I}_m$ と2%未満の誤差で一致する。
• $p(z) = p(1/z)$ から直接 $I_m = I_{1-m}$ を証明し、$F_{\rm eff}(\epsilon)$ を用いずに双対性および解の整合性を確認する。